PDGL erster Ordnung, Methoder der Charakteristiken, xu_x-yu_y=0

03.11.2011, 20:14	KA123	Auf diesen Beitrag antworten »
PDGL erster Ordnung, Methoder der Charakteristiken, xu_x-yu_y=0 Hallo zusammen, ich sitze gerade an der PDGL $\begin{eqnarray} xu_x-yu_y = 0 \end{eqnarray}$ und als eine Art Anfangsbedingung, soll der Graph der Lösung u die Menge $\begin{eqnarray} M:=\{ (t,t,t) \in \mathbb R^3 ; t>0 \} \end{eqnarray}$ enthalten, was wenn ich das richtig verstanden habe, soviel heißen soll wie $\begin{eqnarray} u(s,s)=s \end{eqnarray}$ Habe nun versucht, darauf die Methode der Charakteristiken anzuwenden. Dabei komme ich auf das System von Dgln $\begin{eqnarray} x'=x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x(0)=s \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow x(t)=se^t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y'=y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y(0)=s \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow y(t)=se^t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z'=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z(0)=s \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow z(t)=s \end{eqnarray}$ Probleme habe ich jetzt bei der Rücktransformation, d.h. ich habe bis jetzt nur die implizie Lösung $\begin{eqnarray} z(s,t)=s \end{eqnarray}$ Invertieren müsste ich $\begin{eqnarray} \Phi (s,t) = (se^t,se^t) \end{eqnarray}$ Das bekomme ich nicht hin bzw. glaube nicht, dass das überhaupt geht. Es wäre gut wenn mir jemand einen Hinweis geben könnte, ob die Gleichung mit diesen Anfangsbedingungen überhaupt lösbar ist, ob es eine explizite Darstellung der Lösung gibt und wie ich gegebenenfalls auf diese komme. Danke im Voraus

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