Differentialgleichung des exponentiellen Wachstums (oder der Versuch einer GFS)

03.11.2011, 21:10	Taucherglocke	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung des exponentiellen Wachstums (oder der Versuch einer GFS) Guten Tag liebe Mathe-Gemeinde, Mein Name ist Sebastian (24) und ich hole auf dem zweiten Bildungsweg meine Hochschulreife nach. Sicherlich bin ich nicht der erste, der über das Thema "Differentialgleichungen" brütet, doch meine Sorge ist nicht zwangsläufig, dass ich die Aufgaben nicht verstehe, Nein Nein, viel mehr das ich eine GFS (Gleichwertige Lernleistung = Referat) über dieses Thema (Siehe Titel) halten muss. Nun, selbstverständlich war ich nicht untätig, habe schon Formeln über OpenOffice erstellt und habe mir Aufgaben herausgesucht, welche ich mit meinen Mitschülern rechnen will (werde). Mein großes Problem liegt jetzt darin, dies alles in eine übersichtliche Form zu bringen! Dies werde ich sicherlich nicht von euch verlangen, doch hoffe ich, dass wenn ich euch meine Idee wie ich das Referat halten will, Ergänzungen, Verbesserungen und sonstige Ideen erhalten, wenn das nicht bereits zuviel verlangt ist. So, ich wollte das ganze so eröffnen: Thema: Differentialgleichung des exponentiellen Wachstums Zeit: ca. 45 Minuten 1. Was ist eine Differentialgleichung? - Differentialgleichungen verknüpfen Funktion und Ableitung miteinander. Beispiel: Die Ableitung von $\begin{eqnarray} f(x)=ce^{kx} \end{eqnarray}$ entspricht $\begin{eqnarray} f'(x)=kce^{kx} \end{eqnarray}$ , bzw. wenn man das k ausklammert, kann man einfach $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ einsetzen und erhält somit für die Ableitung: $\begin{eqnarray} f'(x)=kf(t) \end{eqnarray}$ . - Die Lösungen einer solchen Gleichung sind keine Zahlen sondern Funktionen. - Differenzialgleichungen beschreiben das Änderungsverhalten eines Bestandes zu einem Zeitpunkt (z.B. x oder t). - Bzw. so kann die Differentialgleichung als momentane Änderungsrate des Bestandes verstanden werden. Übungen: Lösung einer Differentialgleichung a.) Geben sie alle Funktionen an, die Lösung der Differentialgleichung $\begin{eqnarray} f'(x)=0,2f(x) \end{eqnarray}$ sind. Welche dieser Lösungen erfüllt die Bedingung $\begin{eqnarray} f(5)=6 \end{eqnarray}$ ? b.) $\begin{eqnarray} f'(x)=0,1f(x) \end{eqnarray}$ , Wie lauten die Lösungen dieser Differentialgleichung? Für welche Lösung gilt $\begin{eqnarray} f(0)=4 \end{eqnarray}$ ? Lösung: a.) Die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=ce^{0,2x} \end{eqnarray}$ sind alle Lösungen der Differentialgleichung - Aus $\begin{eqnarray} f(5)=6 \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} 6=ce^{0,25} \end{eqnarray}$ , nach c aufgelöst ergibt sich $\begin{eqnarray} f(x)=(6/e)e^{0,2x} \end{eqnarray}$ . b.) Die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=ce^{-0,1x} \end{eqnarray}$ sind alle Lösungen der DGL. - Aus $\begin{eqnarray} f(0)=4 \end{eqnarray}$ erhält man die Lösung $\begin{eqnarray} f(x)=4e^{-0,1x} \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} e^{-0,10}=e^0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} e^0 = 1 \end{eqnarray}$ entspricht (Ferner habe ich die Graphen noch mit GeoNext dargestellt und werde sie mit Powerpoint zeigen oder glaubt ihr das ist überflüssig? Glaubt ihr die Aufgaben sind zu einfach oder nicht wirklich Aussage kräftig? 2. Differentialgleichungen im exponentiellen Wachstum - Ein exponentielles Wachstum geht gegen Unendlich. - Ein Zerfall dagegen läuft gegen Null. (?) - Wird ein Wachstums- oder Zerfallprozess durch $\begin{eqnarray} f(t)=ce^{kt} \end{eqnarray}$ beschrieben, gilt: - Wachstumskonstante $\begin{eqnarray} k=ln(1+(p/100)) \end{eqnarray}$ - Zerfallskonstante: $\begin{eqnarray} k=ln(1-(p/100)) \end{eqnarray}$ - Wobei p die Prozentangabe einer Aufgabe darstellt (z.B. 5 % Zinsen etc.) - Halbwertszeit: Die Halbwertszeit ist die Zeit, in der sich ein exponentiell mit der Zeit abnehmender Wert halbiert hat (Bsp. Zeitspanne in welcher die vorhandene Masse eines radioaktiven Präparates auf die Hälfte zurückgeht). Formel: $\begin{eqnarray} t(h)=-ln2/k \end{eqnarray}$ - Verdopplungszeit: Zeitspanne in welcher sich ein Ausgangswert, verdoppelt. (Bsp. Die Bevölkerung eines Landes verdoppelt sich) Formel: $\begin{eqnarray} t(v)=ln2/k \end{eqnarray}$ - Für die Differentialgleichung gilt: $\begin{eqnarray} f'(x)=kf(x) \end{eqnarray}$ , wobei k die Wachstums, bzw. die Zerfallskonstante ist. - Wachstum = $\begin{eqnarray} k > 0 \end{eqnarray}$ - Zerfall = $\begin{eqnarray} k < 0 \end{eqnarray}$ - Jeder DGL in dieser Form beschreibt exponentielles Wachstum oder Zerfall! Übung: Eine Nährlösung enthielt zu Beginn der Beobachtung 3000 Bakterien, nach 20 Stunden 50 000. Untersuchungen ergeben, dass in diesem Zeitraum die Geschwindigkeit, mit der sich die Batkerien vermehren, proportional zur momentanen Bakterienzahl ist. a.) Stellen sie die Differentialgleichung auf, die dieses Wachstum beschreibt, und bestimmen Sie die zugehörige Wachstumsfunktion. b.) Wann enthielt die Nährlösung 18 000 Bakterien? Berechnen sie die Verdopplungszeit. Lösung: a.) $\begin{eqnarray} c= 3000 \end{eqnarray}$ ; $\begin{eqnarray} f(20)=50 000 \end{eqnarray}$ , daraus folgt: $\begin{eqnarray} 50 000 = 3000e^{20t} \end{eqnarray}$ . Nun nach k auflösen: $\begin{eqnarray} 50 000/3000 = e^{20k} \end{eqnarray}$ ; Jetzt mit dem Logarithmus das e "entfernen": $\begin{eqnarray} ln(50 000/3000) = 20k \end{eqnarray}$ Und dann durch 20 dividieren: $\begin{eqnarray} 0,1406705358 = k \end{eqnarray}$ Daraus ergibt sich (Und hier war ich mir nicht ganz sicher) für die DGL: $\begin{eqnarray} f'(x)=0,1406f(x) \end{eqnarray}$ b.) $\begin{eqnarray} c=3000 \end{eqnarray}$ ; $\begin{eqnarray} f(t)=18 000 \end{eqnarray}$ , daraus folgt: $\begin{eqnarray} 18 000=3000e^{0,1406705358t} \end{eqnarray}$ Nun nach t auflösen: $\begin{eqnarray} ln(18 000/3000)=0,1406705358t \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} t = 12,73727621 \end{eqnarray}$ Nach ca. 12 Std. enthielt die Lösung 18 000 Bakterien Für die Verdopplungszeit bedeutet das: $\begin{eqnarray} T(v)=ln2/0,1406705358 \end{eqnarray}$ Nach ca. 5 Std. haben sich die Bakterien in der Lösung verdoppelt. 3.) Beschränktes Wachstum* - Anders als beim exponentiellen Wachstum, verläuft die Zu- oder Abnahme (Wachstum/Zerfall) bei einer beschränkten Funktion gegen eine Schranke (S). - Dies bedeutet das ein gewisser Wert niemals überschritten werden kann. - Die DLG des beschränkten Wachstums lautet: $\begin{eqnarray} f'(x)=k(S-f(x)) \end{eqnarray}$ - Die Funktion, welche alle Lösungen der DLG erfüllt ist also: $\begin{eqnarray} f(x)=S-ce^{-kt} \end{eqnarray}$ - Anders als bei exponentiellen Wachstum gibt c an, ob es sich um ein beschränktes Wachstum oder einen beschränkten Zerfall handelt. - Beschränktes Wachstum = $\begin{eqnarray} c > 0 \end{eqnarray}$ - Beschränkter Zerfall = $\begin{eqnarray} c < 0 \end{eqnarray}$ - Ferner setzt sich c , also mein Anfangsbestand aus $\begin{eqnarray} S - f(0) \end{eqnarray}$ zusammen. - Bei der DLG ist zu beachten das die Wachstumskonstante, also k , stets positiv ist. Übungen: 1.) Beschränktes Wachstum - Eine Flüssigkeit hat im Kühlschrank eine Temperatur von 5°C. Nimmt man sie heraus und gießt sie in ein Glas, so erwärmt sie sich allmählich auf die umgebene Raumtemperatur von 20°C. Dabei hängt der Verlauf der Erwärmung u.a. von der Menge und Art der Flüssigkeit sowie der Form des Glases ab. a.) Welche Form hat die DLG, die diesen Erwärmungsvorgang beschreibt. b.) Geben Sie die Lösung dieser DLG an und skizzieren Sie die Graphen von zwei möglichen Verläufen für die Erwärmung. Lösung: a.) Für die DLG ergibt sich: $\begin{eqnarray} f'(t)=k(20-f(t)) \end{eqnarray}$ , da S die Schranke mit 20°C bildet. b.) Da für $\begin{eqnarray} c = S - f(0) \end{eqnarray}$ gilt, also $\begin{eqnarray} c= 20-5 \end{eqnarray}$ folgt das $\begin{eqnarray} c=15 \end{eqnarray}$ ist. Darauf ergibt sich $\begin{eqnarray} f(t)=20-15e^{-kt} \end{eqnarray}$ Für k setzten wir nun zwei Werte ein, z.B. 0,05 und 0,15 und lassen uns die zwei Graphen von unserem GTR zeichnen. (Hier bin ich mir nicht sicher, da im meinem Mathebuch die zwei Werte für k stehen und ich mir denke, das diese nicht ausgerechnet, sondern einfach "zufällig" ausgewählt wurden.) 4.) Übungen:* - An dieser Stelle würde ich dann noch zwei schwere Aufgaben wählen, ohne Ankündigung ob es sich nun um exponentielles oder beschränktes handelt, durch die Klasse gehen und helfen und zum Schluss mit der Klasse an der Tafel rechnen. Ergänzung: - In meiner Power Point werde ich dann nochmal die Aufgaben mit Graphen darstellen sowie die dazugehörigen Formeln. - Ausserdem werde ich ein Handout mit sämtlichen wichtigen Formlen, mit kurzen Erklärungen verteilen, sowie leichte Einstiegsübungen und ordentliche Brocken für zu Hause. Ende Nun, da dies mein erster Post in einem Matheforum war, bzw. dies auch meine erste Ausarbeitung eines Mathereferats darstellt, bitte ich um schonung Nein quatsch, bitte haltet euch nicht mit Kritik zurück, da ich mit Sicherheit kein MatheGenie bin und mir dies in eigen Regie zusammengetragen und erarbeitet habe. Falls ihr das bis zum Ende durchgelesen habt, danke ich euch vielmals und wünsche euch noch einen schönen Tag. Mit freundlichen Grüßen Sebastian P.s. Ist für das Abitur "logistisches Wachstum" auch interessant? Weil wenn ja, müsste ich um einen Abschnitt ergänzen!
06.11.2011, 02:01	Taucherglocke	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm Entweder ich habe alles richtig gemacht oder es war vielleicht etwas zu viel verlangt, sich das alles durchzulesen. Schade eigentlich, ich hätte gerne ein Feedback bekommen, da ich mein Konzept nächste Woche abgeben werde und es dadurch fix wird. Würde mich als nach wie vor über eine Antwort freuen, ob die Aussagen die ich hier getroffen habe, so richtig formuliert sind. Freundliche Grüße

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