Verschoben! Lineare Hülle (3 Vektoren)

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03.11.2011, 21:14	HTCC1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Hülle (3 Vektoren) Meine Frage: Ich habe drei Vektoren gegeben a = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ b= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ c $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und soll <c,a,b> berechnen. Meine Ideen: In manchen Foren habe ich gesehen das es sich hierbei um das skalarprodukt handelt c steht senkrecht auf a sthet senkrecht auf b, aber leider weiß ich nicht weiter Gruß Tanja
03.11.2011, 22:46	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Skalarprodukt hat aber nur zwei Vektoren als Argument, hier sind drei aufgeführt. Ich denke eher, dass es um die Lineare Hülle geht, also der von diesen drei Vektoren erzeugte Unterraum.
05.11.2011, 09:47	HTCC1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut , das wäre mein nächster Gedanke gewesen das es die lineare Hülle ist. Ist dern span<c,a,b> das gleiche wie die lineare Hülle?? Habe mich auch "versucht" schlau zulesen, aber bei der Definitionsschreibwesie ist das nicht allzu einfach. wenn also die spitzen Klammern die lineare Hülle bedeuten, heißt das ja, das die gegebenen Vektoren einen Vektorraum aufspannen, dieser ein Untervektrorraum des $\begin{eqnarray} R^3 \end{eqnarray}$ ist. Wäre es dann so richtig? L(c,a,b) = $\begin{eqnarray} \left\{\lambda1 \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda2 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} + \lambda3 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\| \lambda1 ,\lambda2 ,\lambda3 \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \left\{\begin{pmatrix} \lambda1 +& 2\lambda2 +& \lambda3 \\ 3\lambda1 +& \lambda2 & - 2\lambda3 \\ -2\lambda1 & -3\lambda2 +& \lambda3 \end{pmatrix} \| \lambda1 ,\lambda2 ,\lambda3 \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray}$ aber weiter weiß ich nciht, oder ob das schon das Ergebnis ist.
05.11.2011, 10:37	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo htcc1987, bisher ist alles richtig, und wenn die 3 vektoren (1,3,-2), (2,1,-3) und (1,-2.1) linear unabhängig sind, ist die lineare hülle nicht nur ein unterraum von R^3, sondern der gesamte R^3. gruss ollie3
05.11.2011, 10:46	HTCC1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das hätte ich jetzt auch geschrieben. Da in meiner Aufgabe steht berechnen sie <c,a,b> wusste ich nur nicht wie das Ergebnis aussehen soll. Ich meine ich kenne ja das Ergebnis jetzt, aber wie schreibe ich das formal, ist das meine letzte geschriebene Zeile oder schreibe ich meine lineare hülle L(c,a,b) = mein Untervektorraum= R^3??? Ich hoffe das ist verständlich
05.11.2011, 11:18	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie so oft in der Linearen Algebra: Forme die Matrix um, die sich aus den drei Vektoren ergibt. Dann erhältst Du eine einfachere Basis, oder kannst vielleicht eine "kürzere" Darstellung finden.
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05.11.2011, 12:17	HTCC1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich stehe gerade total auf dem Schlauch. Ich bin dabei meine Matrix M = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 &-2 \\ -2 & -3 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ umzustellen und bin zum scheitern verurteilt. ich bekomme dann eine Dreiecksmatrix heraus $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 &1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
05.11.2011, 12:40	WaechterT	Auf diesen Beitrag antworten »
Du bist schon fast am Ziel. Was beschreibt denn die Dreiecksmatrix, als Basis eines Vektorraums?
05.11.2011, 12:47	Hobbymathematiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Du könntest versuchen zu zeigen, dass die drei Vektoren den Nullvektor nur auf triviale Weise ( $\begin{eqnarray} \lambda1=\lambda2=\lambda3=0 \end{eqnarray}$ ) darstellen. Dazu formst du deine Matrix weiter zu zur Einheitsmatrix $\begin{eqnarray} E_3 \end{eqnarray}$ um und gut is . Damit ist dann (wenn nicht schon früher) klar, dass die drei Vektoren eine Basis des $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ bilden bzw. selbigen "aufspannen". Und dann ist auch klar was $\begin{eqnarray} <a,b,c> \end{eqnarray}$ ist. VG, Hobbymathematiker
05.11.2011, 13:03	HTCC1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß ja, dass die Vektoren linear unabhängig sind da $\begin{eqnarray} \lambda 1 = \lambda2 = \lambda3 = 0 \end{eqnarray}$ und somit die Vektoren den Raum $\begin{eqnarray} R^3 \end{eqnarray}$ aufspannen und somit die lineare Hülle ist @hobbymathematiker aber wie ist das formal geschrieben @Waechter T es hat irgendwas auf sich mit dem Vektor v1 = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ -1\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ den ich auch raus bekomme, aber diese Zusammenhänge nun zu verknüpfen es tut mir leid
05.11.2011, 13:42	WaechterT	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, die gesuchte Antwort ist ja bereits, dass die lineare Hülle der gesamte lR^3 ist. Am einfachsten erkennst du das daraus, dass die Matrix vollen Rang hat (n x n Matrix hat in Dreiecksform n von Null verschiedene Zeilen) - oder über die Linearkombination, so wie Hobbymathematiker das vorgeschlagen hat - also du eine 3-dimensionales Basis aus 3-dimensionalen Vektoren hast...
05.11.2011, 13:49	HTCC1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Den vollen Rang habe ich ja, da ich beim umformen meiner Matrix keine Nullzeile habe oder ich kann dies ja auch mit den Unterdeterminanten bestimmen. Das weiß ich Und das andere verfahren ist ja (welches Hobbymathematiker meinte) die dimemsion des unterrausm zu bestimmen, so wie ich es oben angefangen hatte so dass $\begin{eqnarray} \lambda v = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist und das habe ich nur wenn meine $\begin{eqnarray} \lambda1,2,3 = 0 \end{eqnarray}$ ist und das ist ja auch der Fall also wäre es formal geschrieben $\begin{eqnarray} < \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\1 \\-3 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}> = R^3 \end{eqnarray*}$
05.11.2011, 13:51	Hobbymathematiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Also mir gefällt das
05.11.2011, 14:03	HTCC1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist schön...vielen Danke euch beiden

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