Legendre Poly

05.01.2007, 20:37

kingskid

Legendre Poly

Hallo,
könnt ihr mir ein paar tipps zu dieser aufgabe geben?

Es sei p(x) ein beliebiges Polynom vom Grad $\begin{eqnarray*} \le 3 \end{eqnarray*}$ , das in den Nullstellen des zweiten Legendre Polys
$\begin{eqnarray*} P_2(x) = x^2 - \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ die Werte $\begin{eqnarray*} p(\frac{1}{\sqrt{3}})=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p(\frac{-1}{\sqrt{3}} ) = 2 \end{eqnarray*}$ annimmt.
Begründen Sie, warum durch diese Angaben der Wert des Integrals $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1}~ p(x) ~dx \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmt ist und ermitteln Sie diesen Wert.

Ich versteh nicht warum die angaben langen. Um das Integral mit einer Quadraturformel zu berechnen, brauch ich doch auch noch die gewichte?
und wenn die Nullstellen die Knoten sind, warum genügen dann 2 ??

Viele Grüße
kingskid

05.01.2007, 21:46

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RE: Legendre Poly

Zitat:

Original von kingskid
und wenn die Nullstellen die Knoten sind, warum genügen dann 2 ??

Weil sie geschickt positioniert sind! Augenzwinkern

Betrachte doch einfach mal ein beliebiges Polynom

Ansatz $\begin{eqnarray*} p(x) = c_0P_0(x) + c_1P_1(x) + c_2P_2(x) \end{eqnarray*}$ u.a. mit $\begin{eqnarray*} P_0(x)=1,P_1(x)=x \end{eqnarray*}$ . Dann gilt

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-1}^1 ~ p(x) ~ \dd x = \int\limits_{-1}^1 ~ p(x)P_0(x) ~ \dd x = 2c_0 \end{eqnarray*}$

Du musst also nur $\begin{eqnarray*} c_0 \end{eqnarray*}$ bestimmen. Und das sollte mit

$\begin{eqnarray*} p\left( \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \right) = c_0P_0\left( \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \right) + c_1P_1\left( \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \right) = c_0 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}\cdot c_1 \end{eqnarray*}$

gelingen: ein 2x2-GLS für $\begin{eqnarray*} c_0,c_1 \end{eqnarray*}$ .

06.01.2007, 11:55

kingskid

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danke für deine antwort! ... aber ich hab noch ein paar fragen dazu...

Wie kommst du auf die $\begin{eqnarray*} P_j(x) \end{eqnarray*}$ ? muss man dazu die legendre polys nehmen?
warum nimmt man nicht $\begin{eqnarray*} p(x)=a x^3 + b x^2 + cx + d \end{eqnarray*}$ ? ich mein damit funktioniert es wohl nicht, aber warum langt es ein poly von grad 2 zu nehmen? ist das allgemein genug?

und warum betrachten wir dann das integral des produktes von $\begin{eqnarray*} p(x) \cdot P_0(x) \end{eqnarray*}$ , P_0 ist doch sowieso 1 ?

hm, das mit dem LGS ist gut Augenzwinkern

hab dann c_0=2 und c_2=0 raus...

viele grüße

06.01.2007, 12:09

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Ja, mit $\begin{eqnarray*} P_k \end{eqnarray*}$ meine ich die Legendre-Polynome. Und $\begin{eqnarray*} P_3 \end{eqnarray*}$ habe ich tatsächlich vergessen, sorry:

$\begin{eqnarray*} p(x) = c_0P_0(x) + c_1P_1(x) + c_2P_2(x)+c_3P_3(x) \end{eqnarray*}$

Macht aber nix, denn wenn du das mit diesem erweiterten Ansatz nochmal genauso durchrechnest, wirst du feststellen, dass du auch hier $\begin{eqnarray*} c_0 \end{eqnarray*}$ aus den beiden gegebenen Funktionswerten rauskriegst. Augenzwinkern

P.S.: Das $\begin{eqnarray*} \int\limits_{-1}^1 ~ p(x)P_0(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ habe ich geschrieben, um die Anwendung der Eigenschaft

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-1}^1 ~ P_m(x)P_n(x) ~ \dd x = \frac{2}{2n+1} \delta_{mn} \end{eqnarray*}$

zu verdeutlichen!

(Siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Polynom )

06.01.2007, 14:33

kingskid

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hab das alles nochmal mit P_3 durchgerechnet, aber jetzt hab ich zum schluss 2 gleichungen mit jeweils 3 unbekannten
$\begin{eqnarray*} p(\frac{\sqrt{3}}{3})=c_0 +\frac{\sqrt{3}}{3} c_1 - \frac{4}{45} \sqrt{3} c_3 =2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p(-\frac{\sqrt{3}}{3})=c_0 -\frac{\sqrt{3}}{3} c_1 + \frac{4}{45} \sqrt{3} c_3=2 \end{eqnarray*}$

brauch ich da jetzt noch diese orthogonalitäts-eigenschaft die du geschrieben hast dazu?
oder wie meinst du bekomm ich das c_0?

sollte man eigentlich so rekursionsformeln wie die für die legendre-polys auswendig können...? weil die aufgabe ist aus ner alten klausur und P_3(x) war ja nicht angegeben.... ?

06.01.2007, 14:35

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Na addiere doch mal beide Gleichungen ... smile

06.01.2007, 15:03

kingskid

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ahh... dankeschön smile

(jaja, der richtige blick Augenzwinkern

... )

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