konvergente Folgen

28.06.2004, 23:26	Rantanplan	Auf diesen Beitrag antworten »
konvergente Folgen Guten Abend, ich hoffe, ich bin mit meinem Problem hier richtig und jemand kann mir helfen. Es geht um folgende Aufgabe: Die Folge $\begin{align} (\(a\)_{n}) \end{align}$ mit n $\begin{align} \in \end{align}$ IN vereinigt mit {0} sei rekursiv definiert durch: $\begin{align} (\(a\)_{0}) \end{align}$ =0, $\begin{align} (\(a\)_{1}) \end{align}$ =1 und $\begin{align} (\(a\)_{n}) \end{align}$ =1/2[ $\begin{align} (\(a\)_{n-1}) \end{align}$ + $\begin{align} (\(a\)_{n-2}) \end{align}$ ] für n $\begin{align} \in \end{align}$ IN und n $\begin{align} \geq \end{align}$ 2. a) Beweisen Sie: Die Folge $\begin{align} (\(a\)_{n} ) \end{align*}$ ist konvergent. b) Geben Sie eine explizite Darstellung der Folge an. c) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge. Vielen Dank für eure Mühe schon mal im voraus.
28.06.2004, 23:37	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Was hast du dir denn zu der Aufgabe schon überlegt? Beim a)-Teil kannst du den Abstand zwischen aufeinanderfolgenden Folgegliedern ansehen, und feststellen, dass er sehr schnell klein wird. Daraus, wie schnell er klein wird, folgt die Konvergenz der Folge. Dann ist es zur Bestimmung einer expliziten Darstellung hilfreich - aber nciht notwendig - den Grenzwert bereits zu kennen (oder zu vermuten). Du kannst dann nämlich die Differenz zum Grenzwert angeben und die Formel per Induktion beweisen. Bei dieser Folge ist es hilfreich, die Folgeglieder als Summe darzustellen: a_2 = (a_2 - a_1) + (a_1 - a_0) + a_0 ... a_n = (a_n - a_(n-1)) + ... + (a_1 - a_0) + a_0 Diese Abstände aufeinanderfolgender Folgeglieder kannst du relativ leicht bestimmen. Damit erhältst du eine Summendarstellung der Folgeglieder, und der Grenzwert der Folge ist dann der Grenzwert der Reihe. (Es wird eine geometrische Reihe.)

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