Lineares Gleichungssystem mit komplexen Zahlen |
| 04.11.2011, 13:20 | kzrak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Lineares Gleichungssystem mit komplexen Zahlen ich habe ein Problem. Ich sitze an einem linearen Gleichungssystem mit komplexen Zahlen und ich bin einfach am verzweifeln. Ich habe das ganze mehrfach probiert, jedes mal kriege ich ein anderes Ergebnis. Meine letzte Fassung sah wie folgt aus. Könnte da jemand schnell rüberschauen und ggfs einen Denk/Rechenfehler aufdecken? Ich wäre für die Hilfe sehr dankbar. Die Aufgabe lautet: Man finde ein Polynom f = a + bX + cX2 mit a,b,c in C derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden. f(i) =1, f(1) = 1+i, f(1-2i) = -i Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem: I: a+b*i+c*i^2=1 II: a+b+c=1+i III: a+b*(1-2i)+c*(1-2i)^2=-i I: a+b*i+c*i^2=1 II-I: 0+b*(1-i)+c*2=i -(III-I): 0+b*(2i)+c*(4+4i)=1+i I: a+b*i+c*i^2=1 II-I: 0+b*(1-i)+c*2=i III-2i/(1-i)*II: 0+0+c*(6+2i)=2+2i c=(2+2i)/(6+2i)=16/40+(8/40)i b=(1-2c)/(1-i)=(-28/40)-(4/40)i a=1-bi+c=(52/40)+(36/40)i Zur Kontrolle habe ich meine Ergebnisse wieder in alle drei Gleichungen eingesetzt, jedoch kommt der III 0 raus anstatt -i...und ich finde meinen Fehler einfach nicht, hat jemand eine Idee? Schon mal vielen Dank im voraus für eure Hilfe! Ich habe versucht zur Kontrolle das Ganze per TI zu lösen, dieser zeigte an, dass es keine Lösung gäbe. Aber das kann doch nicht sein bei komplexen Zahlen oder? |
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| 04.11.2011, 13:55 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Lineares Gleichungssystem mit komplexen Zahlen
Da stimmt was nicht. Multipliziere am besten erst einmal in Ruhe aus, bevor Du subtrahierst. Viele Grüße Steffen |
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| 04.11.2011, 15:01 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wahrscheinlich akzeptiert der TR nur reelle Lösungen, wenn du nicht explizit auf die komplexe Zahlenmenge erweiterst. Schleppe nicht die Potenzen von i bzw. der komplexen Zahlen in die nächsten Gleichungen weiter, sondern ersetze gleich i^2 durch -1 und (1 + i)*i durch -1 + i, usw. Mittels Eliminationsverfahrens solltest du (a, b, c) = (..., -3, ...) erhalten. (a, c sollst du selbst ermitteln) mY+ |
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| 04.11.2011, 15:29 | kzrak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke schon mal für eure Hilfe argh ich hab b=-34/40+38/40i raus, irgendwo schleichen sich immer noch Fehler ein. Als kleiner Kontrollwert: c ist bei mir gleich (18/40-16/40i), ist das soweit richtig oder sollte ich mir meine Überlegungen davor nochmal genauer anschauen? |
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| 04.11.2011, 16:04 | kzrak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok ich hab dort schon wieder einen Fehler gefunden, aber immer noch nicht die Lösung :/ Folgender Stand: a+bi-c=1 a+b+c=1+i a+b*(1-2i)+c*(-3-4i)=-i "(1-2i)^2=(-3-4i)" I a+bi-c=1 II-I 0+b(1-i)+2c=i III-I 0+b(1-3i)+c*(-4-4i)=-1-i I a+bi-c=1 II 0+b(1-i)+2c=i III-(2-i)*II c*(-8-2i)=-2-3i "(1-3i)/(1-i)=(2-i)" c=(-2-3i)/(-8-2i)=22/68+20/68i b=(1-2c)/(1-i)=(i-44/68-40/68i)/(1-i)=(-44/68+(28/68)i)/(1-i)=(-44/68+(28/68)i)*(1+i)/2=(-36-8i) |
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| 04.11.2011, 16:13 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich wiederhole mich nur ungern: Da stimmt was nicht. Multipliziere am besten erst einmal in Ruhe aus, bevor Du subtrahierst. Viele Grüße Steffen |
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| 04.11.2011, 16:25 | kzrak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hab ich eigentlich auch immer gemacht, hab mich heir nur kürzer gefasst: aber du hast recht III-I ist bei mir 0+b-2bi-bi-3c-4ic+c=-1-i --> b*(1-3i)-c*(2+4i)=-1-i Ich merk' schon ich strapazier eure Geduld 
Aber ich steh gerade echt auf'm Schlauch, eigentlich ist das ja ganz einfach zu lösen...eigentlich |
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| 04.11.2011, 17:17 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nun ja, so ganz einfach wieder nicht. Man muss schon ein wenig listig vorgehen, um effizient zu eliminieren. Die Anfangsgleichungen lauten: 1 = a + bi - c 1 + i = a + b + c -i = a + b(1 - 2i) + c(3 - 4i) ----------------------------------------- Das solltest du einmal haben. Steffen hat bereits zwei Mal darauf hingewiesen, dass du schon zu Anfang einen Fehler darin hast. Beginne daher mit der Multiplikation (Quadrat) nochmals von vorn. Wie man dann sieht, ist es von Vorteil, mit der Elimination von a zu beginnen. Welche 2 Gleichungen in b und c erhältst du dann? Aus diesen wird leichter c eliminiert und du solltest dann zu b = -3 kommen. mY+ |
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| 04.11.2011, 18:24 | kzrak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
also das Quadrat ist (1-2i)*(1-2i)=1^2+2*(-2i)+(-2i)^2=1-4i+4i^2=1-4i-4=-3+4i. Wie kommst du auf +3? Ok gehe ich davon aus: a + bi - c=1 a + b + c=1+i a + b(1 - 2i) + c(3 - 4i)=-1 Daraus resultiert dann: I a+bi-c=1 II 0+b-bi+2c=i III 0+ b-3bi+c*3-c*4i+c=-1-1 (=b(1-3i)+c(4-4i)=-2) I a+bi-c=1 II-2*I b-bi-2bi+2c-2c=i-2 =b(1-3i)=i-2 b=(i-2)/(1-3i)=1/2-(1/2)i Oh Gott ich bin ein hoffnungsloser Fall
danke schon mal für eure Hilfsbereitschaft, ich kann's nicht oft genug sagen. |
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| 04.11.2011, 19:30 | kzrak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ist natürlich quatsch, ist mir beim zweiten drüber lesen auch aufgefallen. |
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| 04.11.2011, 22:20 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Man sollte nicht nur listig, sondern auch richtig rechnen! Ist schon ärgerlich, ich habe tatsächlich das Quadrat falsch berechnet, aaahhhrg! DU aber auch, zumindest ganz am Ende stimmt's nicht mehr!
In Wirklichkeit ist Asche auf unsere Häupter! mY+ ______________________________
Da solltest du natürlich kürzen! Stimmt aber so nur halb, denn es ist c = 9/20 + 7i/20 Ich verrate dir auch noch b = -3/5 - 3i/10 |
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| 05.11.2011, 10:12 | kzrak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
WoW ich habs geschafft, ich hab die gleichen Zahlen raus, bei mir ist a=23/20+19/20i. Vielen Dank nochmal für eure Hilfe, besonders dir mYthos. Ich habe mal eine weitere Frage an euch - ich unterstelle den meisten einfach mal, dass sie ziemlich vertraut mit der Materie sind: mir ist es gerade schleierhaft, wie ich derartige Aufgaben unter Klausurbedingungen zufriedenstellend lösen kann. Bei uns werden Aufgaben recht streng bewertet (bei kleinen Fehler ~1/2 Punkte, bei mehr als etwa ~2,3 Rechenfehler/Fehler) wird die Aufgabe mit 0 Punkten bewertet. Auch dir mYthos ist ja z.B. ein kleiner Rechenfehler unterlaufen, das kommt eben vor, vor allem bei den komplexen Zahlen, da vergisst mal mal ein i^2 o.ä. Gibt es da vielleicht weitere Tricks, um so etwas zu lösen oder heißt es einfach genau hinschauen und tausend mal nachkontrollieren? Gruß |
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| 05.11.2011, 11:50 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, a stimmt auch. Tricks? Nun ja, - die Multiplikationen bzw. Quadrate lieber mehrmals überprüfen! - Beim Eliminieren auf den wirklich minimalen Aufwand achten, also dort, wo die gemeinsamen Koeffizienten am einfachsten sind. - Probe durch Einsetzen der Lösungen, vielleicht das Wichtigste. mY+ |
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