3 Vektoren - lineare Abhängigkeit mit Parameter

04.11.2011, 15:52

paulpaul

3 Vektoren - lineare Abhängigkeit mit Parameter

Hallo,

wie muss die reelle Zahl a gewählt werden, damit die Vektoren linear abhängig sind?

$\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix} a \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}, \ \vec{y}=\begin{pmatrix} 1 \\ -a \\ 2 \end{pmatrix}, \ \vec{z}=\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 2a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & 1 & -2 \\ -3 & -a & -2 \\ 5 & 2 & 2a \end{pmatrix} \ \ r\vec{x}+s\vec{y}+t\vec{z}=0 \end{eqnarray*}$

3 Vektoren sind auf jeden Fall linear abhängig, wenn einer der 3 Vektoren ein Nullvektor ist, da die anderen beiden frei wählbar sind bzw. voneinander abhängig, sodass es unendlich viele Lösungen des LGS gibt. Also nehme ich nun an, dass es für einen der Fall ist?

$\begin{eqnarray*} \text{Setze} \vec{z}=0 \text{, dann ist} \\<br /> ar+s=0 \\ -3r-as=0 \\ 5r+2s+2at=0 \end{eqnarray*}$

Bevor ich hier weitermache und das neue LGS auflöse, liege ich mit dem Lösungsweg überhaupt richtig und/oder gibt es (noch) einen anderen Weg?

LG

04.11.2011, 16:58

Helferlein

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Wie soll z bitte schön Nullvektor sein, wenn z vorgegeben ist und in mindestens zwei Komponenten ungleich Null?

Du musst das GLS $\begin{eqnarray*} r\vec x+s\vec y+t\vec z=\vec 0 \end{eqnarray*}$ nach r,s, und t auflösen und schauen, wann das mit einer Lösung ungleich Null möglich ist.
Alternativ kannst Du die Determinante der drei Vektoren berechnen, sofern ihr die im Unterricht schon behandelt habt.

04.11.2011, 17:37

paulpaul

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Sorry, ich hab mich vertan. Ich meinte nicht $\begin{eqnarray*} \vec{z}=0 \end{eqnarray*}$ , sondern t=0.
Wir haben das LGS immer mit dem Gauß'schen Eliminierungsverfahren gelöst, dann kommt doch zwangsweise raus, dass eine Variable aus r, s, t 0 ergibt, wenn die Lösung nicht trivial sein soll.

04.11.2011, 18:35

Helferlein

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Wenn sie linear abhängig sind, dann gibt es eine nichttriviale Lösung des GLS.
Es ist aber nicht sicher, dass t=0 eine zulässige Lösung liefert.
Nehmen wir zum Beispiel die Vektoren $\begin{eqnarray*} e_1,e_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e_2 \end{eqnarray*}$ . Sie sind linear abhängig, aber mit t=0 wirst Du trotzdem nur die Nulllösung erhalten.

Du musst das GLS in Zeilenstufenform bringen und dann schauen, dass eine Stufe herausfällt, weil sie eine Nullzeile ist.

05.11.2011, 10:05

paulpaul

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RE: 3 Vektoren - lineare Abhängigkeit mit Parameter
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & 1 & -2 \\ -3 & -a & -2 \\ 5 & 2 & 2a \end{pmatrix} \ <br /> \text{2. Zeile} |\cdot \frac{a}{3} \ \text{3.Zeile} |\cdot (-\frac{a}{5}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & 1 & -2 \\0&\frac{3-a^2}{3}& \frac{-6-2a}{3} \\ 0 & \frac{5-2a}{5} & \frac{-10-2a^2}{5} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt noch die 2.Zeile mit $\begin{eqnarray*} -\frac{15-5a^2}{15-6a} \end{eqnarray*}$ multipliziere und addiere die 3.Zeile dazu.. ah, ich seh schon: Dann entsteht in der untersten Zeile eine Nullzeile, wenn entweder t=0 oder a ein bestimmter Wert ist, den ich noch ausrechnen müsste. Gibt es vielleicht einen unkomplizierteren Weg? Big Laugh

05.11.2011, 11:21

Helferlein

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RE: 3 Vektoren - lineare Abhängigkeit mit Parameter

Zitat:

Original von paulpaul
Gibt es vielleicht einen unkomplizierteren Weg? Big Laugh

Zitat:

Original von Helferlein
Alternativ kannst Du die Determinante der drei Vektoren berechnen, sofern ihr die im Unterricht schon behandelt habt.

05.11.2011, 13:00

paulpaul

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Oh, haben wir leider noch nicht. Schade. Big Laugh

Danke für deine Hilfe! smile

05.11.2011, 15:22

Helferlein

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Ich hätte für die Umformung übrigens die dritte Spalte genommen, da sind die Einträge ja schon sehr ähnlich.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a&1&-2\\-3&-a&-2\\5&2&2a \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} a&1&-2\\-3-a&-a-1&0\\5+a²&2+a&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es lässt sich schnell entscheiden, wann diese Matrix in Diagonalform gebracht werden kann, ohne noch großartig weiter umzuformen.

05.11.2011, 16:46

paulpaul

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Hehe, danke.
Mir fällt jetzt auch mein Denkfehler auf, ich hab die Aufgabe mit den vorigen, die ich gemacht habe, verwirrt. Da waren reelle Zahlen r, s, t gesucht, sodass die Vektoren linear abhängig werden.
Da ich das Offensichtliche nicht sehe, rechne ich die Aufgabe einfach mal durch. Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a&1&-2\\3+a&a+1&0\\5+a²&2+a&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Unterstes mit $\begin{eqnarray*} \frac{-a-1}{2+a} \end{eqnarray*}$ multipliziert

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \frac{-5a-5-a^3-a^2}{2+a}+(3+a)=0 \\<br /> -5a-5-a^3-a^2+6+5a+a^2=0 \\<br /> 1-a^3=0 \Rightarrow a=1 \end{eqnarray*}$

Das haut nicht hin, wenn ich in die Matrix einsetze und überprüfe.
Tut mir Leid, dass ich mich so blöd anstelle. Forum Kloppe

05.11.2011, 16:57

Helferlein

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Bin leider erst einmal für 1-2 Stunden weg, kann erst danach wieder antworten., sorry.

Ansonsten kann natürlich gerne jemand anderes übernehmen, falls wer Lust hat.

06.11.2011, 12:30

paulpaul

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Ich finde keinen Fehler in meiner Umformung. verwirrt

Mag sich jemand erbarmen und kurz drüberschauen?^^

06.11.2011, 19:49

Helferlein

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Die Rechnung stimmt.
Hast Du beim Einsetzten eventuell etwas falsch gemacht?

EDIT: Und der Fall a=-2 müsste noch separat betrachtet werden.

06.11.2011, 20:01

paulpaul

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Ich hab in die untere Zeile der Matrix eingesetzt. Es müsste doch dann sein:
$\begin{eqnarray*} 5+2+2\cdot(-1)=0 \end{eqnarray*}$
Oder verstehe ich was falsch?

06.11.2011, 20:15

Helferlein

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Kann Dir grad nicht wirklich folgen.
Wenn Du a=1 herausbekommst und in die Matrix einsetzt, entsteht eine Singuläre Matrix. Also eine, deren Zeilen linear abhängig sind.
Wenn Du die genaue Linearkombination haben willst, musst Du die Matrixgleichung lösen (Am einfachsten natürlich in der Zeilenstufenform, die Du gewonnen hast)

09.11.2011, 00:00

paulpaul

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Ah, falsch gefragt. Hat sich erledigt. Danke für deine Hilfe! smile

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