rekursiv definierte folge

04.11.2011, 17:42

akinup

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rekursiv definierte folge

Hallihallo =)

Meine Aufgabe lautet:

Die durch $\begin{eqnarray*} a_{1}:=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{n+1}:= \frac{3}{5}a_{n}+2 \end{eqnarray*}$ rekursiv definierte Folge $\begin{eqnarray*} (a_{n}) \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen a=5.

Tipp: Zeigen Sie zunächst $\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb N : |a_{n}-5| =5(\frac{3}{5})^n \end{eqnarray*}$

Also ich denke mal ich soll als erstes $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ erstmal rauskriegen.
Kann man da einfach $\begin{eqnarray*} a_{1}:=2 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} a_{n+1}:= \frac{3}{5}a_{n}+2 \end{eqnarray*}$ abziehen?

04.11.2011, 17:46

Gast11022013

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Nein, das kann man nicht einfach.

Du kannst es aber immer auf das vorherige Folgenglied zurückbeziehen, irgendwann kommst Du bei $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ an.

04.11.2011, 17:50

akinup

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aber was soll ich wieder mit a_1 ? inwiefern bringt mir das weiter um auf a_n zukommen?

04.11.2011, 17:54

Gast11022013

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Beispiel:

$\begin{eqnarray*} a_3=\frac{3}{5}a_2+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_2=\frac{3}{5}a_1+2=\frac{6}{5}+2 \end{eqnarray*}$

Dann kannst Du $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ in den Ausdruck für $\begin{eqnarray*} a_3 \end{eqnarray*}$ einsetzen.

Du mußt das nun allgemein machen. Dann bekommst Du einen allgemeinen Ausdruck für $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ .

04.11.2011, 18:22

akinup

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$\begin{eqnarray*} a_3=\frac{3}{5}a_2+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_2=\frac{3}{5}a_1+2=\frac{6}{5}+2 \end{eqnarray*}$

wenn man die a_2 in die a_3 einsetz... kommt da dann nicht was anderes raus? also:

$\begin{eqnarray*} a_3=\frac{3}{5}(\frac{3}{5}a_1+2)+2 \end{eqnarray*}$ ?

oder habe ich da was falsch verstanden?

04.11.2011, 18:26

Gast11022013

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Das ist korrekt.

Wenn Du das ausrechnest, hast Du

$\begin{eqnarray*} a_3=\frac{98}{25} \end{eqnarray*}$ und weiter hast Du dann

$\begin{eqnarray*} \left\vert\frac{98}{25}-5\right\vert=\frac{27}{25}=5\left(\frac{3}{5}\right)^3 \end{eqnarray*}$ .

An diesem Beispiel siehst Du also, daß die Behauptung stimmt.

Aber Du mußt das nun allgemein für n so aufschreiben, denn dies war ja nur ein Zahlenbeispiel.

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04.11.2011, 18:30

akinup

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-.- argh dann hatte ich doch es richtig gemacht... grml...

mal ne andere frage... hattest du auch am anfang solche schwierigkeiten mit mathe? bzw. mein problem ist immer das ich oft den anfang richtig habe... dann aber nicht sehe das es richtig ist und man es einfach nur weiter führen müsste und es durchstreiche und anders weiter mache was dann meistens komplett falsch ist... -.-

04.11.2011, 18:31

Gast11022013

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Ich habe immer noch Schwierigkeiten... Big Laugh

Big Laugh

04.11.2011, 18:33

akinup

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studierst du noch? welches semester, wenn ja?

04.11.2011, 18:38

Gast11022013

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Ja, ich bin Student.

5. Semester.

04.11.2011, 18:40

akinup

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woow coool! also ich bin grade seid 2-3 wochen dabei xD

öhm... wenn ich das allgemein nach n gemacht habe... ist der beweis dann fertig?

04.11.2011, 18:41

Gast11022013

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Der Teil der Aufgabe ist dann fertig.

Also schreib es erstmal allgemein hin:

$\begin{eqnarray*} a_n=... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n-1}=... \end{eqnarray*}$

bis runter nach $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ .

Dann setze einfach mal ein und rechne.

04.11.2011, 18:56

akinup

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hä? wie soll ich den bis a1 kommen? unglücklich

unglücklich

also wenn ich rechne komme ich immer dichter an die 5 ran... aber da doch kein wert vorgegben ist ... kann ich a1 doch nie erreichen? oder schon wieder ein denkfehler? =/

04.11.2011, 19:08

akinup

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RE: rekursiv definierte folge
es sieht doch wie folgt aus:
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}:= \frac{3}{5}a_{n}+2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n}:= \frac{3}{5}a_{n-1}+2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n-1}:= \frac{3}{5}a_{n-2}+2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n-2}:= \frac{3}{5}a_{n-3}+2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n-3}:= \frac{3}{5}a_{n-4}+2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n-4}:= \frac{3}{5}a_{n-5}+2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n-5}:= \frac{3}{5}a_{n-6}+2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n-6}:= \frac{3}{5}a_{n-7}+2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n-7}:= \frac{3}{5}a_{n-8}+2 \end{eqnarray*}$
.
.
.
Wenn man einsetzt und rechnet kommt man immer dichter an die 5... aber doch nie auf $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ ?!

04.11.2011, 19:19

René Gruber

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Zitat:

Original von akinup
Tipp: Zeigen Sie zunächst $\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb N : |a_{n}-5| =5(\frac{3}{5})^n \end{eqnarray*}$

Das mit dem Betrag verschleiert ein wenig die Situation: Man kann auch gleich über vollständige Induktion $\begin{eqnarray*} a_{n}-5 =-5(\frac{3}{5})^n \end{eqnarray*}$ nachweisen, bzw. umgestellt zur expliziten Darstellung

$\begin{eqnarray*} a_{n} =5-5(\frac{3}{5})^n \end{eqnarray*}$ .

04.11.2011, 19:23

Gast11022013

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RE: rekursiv definierte folge
$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{3}{5}a_{n-1}+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n-1}=\frac{3}{5}a_{n-2}+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n-2}=\frac{3}{5}a_{n-3}+2 \end{eqnarray*}$

usw. runter bis $\begin{eqnarray*} a_1=2 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{3}{5}\left(\frac{3}{5}a_{n-2}+2\right)+2 \end{eqnarray*}$

Da setze jetzt den obigen Wert für $\begin{eqnarray*} a_{n-2} \end{eqnarray*}$ ein, dann hast Du einen Ausdruck, in dem $\begin{eqnarray*} a_{n-3} \end{eqnarray*}$ vorkommt, dafür setzt Du das dann wieder ein und so weiter.

Irgendwann kommst Du gedanklich bei einem Ausdruck an, der nur noch $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ beinhaltet und den Wert dafür kennst Du ja.

Edit:

Halte Dich besser an die Idee von René Gruber, er ist kompetenter als ich.
An meinem Beitrag kannst Du aber ja vllt. sehen, wie man die Rekursion verstehen kann.

04.11.2011, 19:27

akinup

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aber darf ich denn die betragsstriche einfach weg lassen? woher weiß ich das es eh positiv bleibt? müsste ich nicht ne fallunterscheidung machen? oder was ist an dem fall anders als sonst?

05.11.2011, 17:46

akinup

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Thema erledigt ^^

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