Majoranten-/ Minorantenkriteirum

04.11.2011, 17:43

HansimGlück

Majoranten-/ Minorantenkriteirum

Ich weiß leider nicht, ob ich die Aufgaben richtig gelöst habe und würde mich über eine kurze Bestätigung freuen.

1)
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=17}^{\infty} \frac{7n^3+13n^2+12}{n^5-1234} \end{eqnarray*}$
Kann ich hier nun auf $\begin{eqnarray*} \frac{7n^3+13n^2}{n^5} \end{eqnarray*}$ umformen, weil die von n unabhängigen Summanden vernachlässigbar sind?
$\begin{eqnarray*} \frac{7n^3+13n^2}{n^5}= \frac{7}{n^2}\leq \frac{10}{n^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{10}{n^2} \end{eqnarray*}$ ist also meine Majorante, welcher der hyperharmonischen Reihe ähnelt und entsprechend ist die Reihe konvergent?

2)
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=17}^{\infty} \frac{n-(-1)^{2n}}{n^2+n} \geq \frac{1}{n+2} \end{eqnarray*}$
Meine Minorante entspricht der harmonische Reihe, welche divergent ist und daher ist die zu untersuchende Reihe auch divergent?

3)
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=17}^{\infty} \frac{n-(cos( \frac{1}{n})}{4n^2}\geq \frac{1}{4n+1} \end{eqnarray*}$

Divergent, auf Grund der gleichen Begründung wie 2?

Danke im Voraus!

04.11.2011, 18:19

mnt

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RE: Majoranten-/ Minorantenkriteirum
1) Nein, du solltest nicht einfach Dinge weglassen - zumindest als Studienanfänger.

$\begin{eqnarray*} \frac{7n^3+13n^2}{n^5}= \frac{7}{n^2} \end{eqnarray*}$
Hier hast du einfach die 13n^2 weggelassen. Du könntest sagen, dass $\begin{eqnarray*} 8n^3 \ge 7n^3+13n^2 \end{eqnarray*}$ wenn n>=13, da $\begin{eqnarray*} n^3 >= 13*n^2 \end{eqnarray*}$ ist.(Also gilt das sogar für deine ganze Reihe.) und dann abschätzen.

Ebenso bei +12 und -1234

2,3) ausführlicher

05.11.2011, 12:56

HansimGlück

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RE: Majoranten-/ Minorantenkriteirum

Zitat:

Original von mnt
1) Nein, du solltest nicht einfach Dinge weglassen - zumindest als Studienanfänger.

$\begin{eqnarray*} \frac{7n^3+13n^2}{n^5}= \frac{7}{n^2} \end{eqnarray*}$
Hier hast du einfach die 13n^2 weggelassen.

Ich habe n^2 herausgehoben, gekürzt und dann die 13 weggelassen, da ich davon ausging, dass diese hier vernachlässigbar ist.

05.11.2011, 17:32

mnt

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RE: Majoranten-/ Minorantenkriteirum

Zitat:

Original von HansimGlück
Ich habe n^2 herausgehoben, gekürzt und dann die 13 weggelassen, da ich davon ausging, dass diese hier vernachlässigbar ist.

Etwas einfach weglassen solltest du nicht - auch wenn es asymptotisch richtig ist.

06.11.2011, 12:18

HansimGlück

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Verstehe, danke für die Hilfe!

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