Hauptideal

04.11.2011, 19:04

Mandelbrötchen

Hauptideal

Hallo zusammen!

Folgende Aufgabe bereitet mir Schwierigkeiten:

Sei $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ kommutativer Ring und $\begin{eqnarray*} a, b \in R \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, falls $\begin{eqnarray*} (a)+(b)=\{x+y|x \in (a), y \in (b)\} \end{eqnarray*}$ Hauptideal, dann ist $\begin{eqnarray*} (a) \cap (b) \end{eqnarray*}$ ebenfalls ein Hauptideal.

Folgende Erkenntnisse habe ich schon:

$\begin{eqnarray*} (a)+(b) \end{eqnarray*}$ Hauptidealring, d.h. $\begin{eqnarray*} \exists d \in R: (a)+(b)=(d) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \exists x_1 \in R: a=1 \cdot a+0 \cdot b=x_1 d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \exists x_2 \in R: b=0 \cdot a+1 \cdot b=x_2 d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \exists s,r \in R: ra+sb=d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a) \cap (b) \subseteq (d) \end{eqnarray*}$

Außerdem ist ja zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} \exists m \in R: (a) \cap (b) =(m) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} (a) \cap (b) = \{p|p \in (a) \land p \in (b)\} \end{eqnarray*}$

Ich hänge grade total, denn ich muss ja letztlich ein $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ finden.

Würde mich über Ideen freuen Wink

04.11.2011, 20:14

Math1986

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RE: Hauptideal

Zitat:

Original von Mandelbrötchen
Außerdem ist ja zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} \exists m \in R: (a) \cap (b) =(m) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} (a) \cap (b) = \{p|p \in (a) \land p \in (b)\} \end{eqnarray*}$

Das ist der richtige Ansatz!
Überleg dir mal, wie du ein solches p finden kannst.

Rechne es auch mal an einem Beispiel nach, zB (2) und (3), vielleicht wirds dann klar

04.11.2011, 20:17

Mandelbrötchen

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RE: Hauptideal
Naja ich weiß, dass ich für ein Element, welches den Schnitt erzeugt das kgV nehmen kann. Zumindest funktioniert das bei (2) und (3) super^^ (Hab das nämlich schon ausprobiert)

Aber ich weiß doch nicht, was das kgV von a und b ist... (Oder überseh ich etwas?)

04.11.2011, 20:20

Math1986

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RE: Hauptideal
Du kannst doch einfach p:=kgV(a,b) wählen, damit wäre dochdie Aussage bewiesen (es geht ja nur um die Existenz eines solchen p's)

Das müsste nur noch bewiesen werden.

04.11.2011, 20:26

pseudo-nym

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RE: Hauptideal
Ich komme hier bei zwei Sachen nicht ganz mit.

Zitat:

Original von Mandelbrötchen
[*] $\begin{eqnarray*} (a)+(b) \end{eqnarray*}$ Hauptidealring, d.h. $\begin{eqnarray*} \exists d \in R: (a)+(b)=(d) \end{eqnarray*}$

Das verstehe ich nicht.
Z.B. ist in $\begin{eqnarray*} K[x,y] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x^2+y) + (x^2 + y + 1) = (1) = K[x,y] \end{eqnarray*}$ ein Hauptideal, aber deswegen ist $\begin{eqnarray*} K[x,y] \end{eqnarray*}$ noch lange kein Hauptidealring.

Zum zweiten weiß ich nicht warum ihr annehmt ihr könntet den ggT bilden...

04.11.2011, 20:32

Mandelbrötchen

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RE: Hauptideal

Zitat:

Original von pseudo-nym
Ich komme hier bei zwei Sachen nicht ganz mit.

Zitat:

Original von Mandelbrötchen
[*] $\begin{eqnarray*} (a)+(b) \end{eqnarray*}$ Hauptidealring, d.h. $\begin{eqnarray*} \exists d \in R: (a)+(b)=(d) \end{eqnarray*}$

Sorry, ich hab mich verschrieben. Das soll nicht Hauptidealring heißen, sondern lediglich Hauptideal.

Und genau was du schreibst ist das Problem. Habe mit "Aber ich weiß doch nicht, was das kgV von a und b ist" schon gemeint, dass ich das in diesem Fall gar nicht bilden darf.

Sollte es andere Anregungen geben, ich bin offen für Vorschläge

04.11.2011, 21:40

galoisseinbruder

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Dein Kandidat müsste $\begin{eqnarray*} x_1x_2d \end{eqnarray*}$ sein. Wobei ich´s grad auch nicht beweisen kann.
Auch gilt in der Ungleichung $\begin{eqnarray*} (I+J)(I \cap J) \subseteq \IJ \end{eqnarray*}$ für Ideale I,J hier sogar Gleichheit.

04.11.2011, 23:33

juffo-wup

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Ein Ansatz für einen Integritätsring R:

Voraussetzungen nochmal:
$\begin{eqnarray*} a=x_1d, b= x_2d, ra+sb=d \end{eqnarray*}$

d ist der ggT von a und b und der Schnitt muss dann (wenn er ein Hauptideal ist) vom kgV erzeugt werden. Definiere daher k durch $\begin{eqnarray*} ab=dk \end{eqnarray*}$
Es ist $\begin{eqnarray*} x_1x_2d^2=ab=dk \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} k=x_1x_2d \end{eqnarray*}$
Nun $\begin{eqnarray*} rx_1d+sx_2d=d \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} rx_1+sx_2=1 \end{eqnarray*}$ also sind $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \end{eqnarray*}$ teilerfremd. Benutze das geeignet!

04.11.2011, 23:54

Mandelbrötchen

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Warum kannst du aus $\begin{eqnarray*} rx_1+sx_2=1 \end{eqnarray*}$ schließen, dass $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \end{eqnarray*}$ teilerfremd sind? Und wo überhaupt soll ich das denn verwenden?

Wenn ich zeigen will, dass $\begin{eqnarray*} (a) \cap (b) = (x_1 x_2 d) \end{eqnarray*}$ muss ich logischerweise beide Inklusionen zeigen.
$\begin{eqnarray*} \supseteq \end{eqnarray*}$ ist einfach, aber bei $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ dieser hab ich noch Probleme.

Finde es schwer, ein Element aus dem Schnitt zu wählen. Denn sei $\begin{eqnarray*} x \in (a) \cap (b) \Rightarrow \exists p,q \in R: x=pa=qb \end{eqnarray*}$ .

Und wie ich dann hier weiter mache weiß ich nicht. Muss ja zeigen, dass $\begin{eqnarray*} x \in (x_1 x_2 d) \end{eqnarray*}$ , hab letztlich aber noch keine Idee wie ich dort hin komme.

Hieße ja, dass $\begin{eqnarray*} x=u \cdot x_1 x_2 d, u \in R \end{eqnarray*}$

Und leider ist es kein Integritätsring, das heißt, das darf ich nicht nutzen.

05.11.2011, 00:02

juffo-wup

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Zitat:

Original von Mandelbrötchen
Warum kannst du aus $\begin{eqnarray*} rx_1+sx_2=1 \end{eqnarray*}$ schließen, dass $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \end{eqnarray*}$ teilerfremd sind?

Weil ein gemeinsamer Teiler auch ein Teiler von 1 wäre.

Zitat:

Und wo überhaupt soll ich das denn verwenden?

Das wollte ich ja noch nicht vorsagen, weil der Beweis dann schon fertig ist. Ok: $\begin{eqnarray*} (k)=(dx_1x_2)=(d)((x_1)\cap (x_2)) = (dx_1)\cap (dx_2) = (a)\cap (b) \end{eqnarray*}$

05.11.2011, 00:13

Mandelbrötchen

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Zitat:

Original von juffo-wup

Zitat:

Original von Mandelbrötchen
Warum kannst du aus $\begin{eqnarray*} rx_1+sx_2=1 \end{eqnarray*}$ schließen, dass $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \end{eqnarray*}$ teilerfremd sind?

Weil ein gemeinsamer Teiler auch ein Teiler von 1 wäre.

Aber genau das kannst du nur sagen, weil du die zusätzliche Voraussetzung "R ist Integritätsring" hinzugefügt hast. Ansonsten würde das doch nicht mehr stimmen.

Und da mein gegebener Ring lediglich kommutativ ist, klappt das so also nicht.

05.11.2011, 00:37

juffo-wup

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Zitat:

Original von Mandelbrötchen
Aber genau das kannst du nur sagen, weil du die zusätzliche Voraussetzung "R ist Integritätsring" hinzugefügt hast. Ansonsten würde das doch nicht mehr stimmen.

Dieser Schritt hat doch nichts mit irgendwelchen Nullteilern zu tun. Oder meinst du, dass dein Ring auch kein Einselement hat? Ich brauche lediglich beim vorletzten Gleichheitszeichen, dass a oder b kein Nullteiler ist. Und da bin ich mir im Moment auch nicht sicher, ob das nicht vielleicht auch allgemein gilt.

Zitat:

Und da mein gegebener Ring lediglich kommutativ ist, klappt das so also nicht.

Vielleicht klappt es nicht genauso, aber die Erkenntnisse aus dem Beweis eines Spezialfalls könnten auch nützlich sein, um den Allgemeinfall zu zeigen. Das ist manchmal so bei Beweisen.

05.11.2011, 01:00

Mandelbrötchen

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Doch, der Ring hat ein Einselement.

Also ich kann dir zur Teilbarkeit nur sagen, dass wir z.B. die Definition für $\begin{eqnarray*} a|b \end{eqnarray*}$ (a teilt b) nur für Integritätsbereiche hatten. Dementsprechend kann ich das auf Ringe die kein Integritätsbereich sind nicht anwenden.

Und ich bin noch immer der Meinung, dass du, um zur Aussage zu kommen, dass $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \end{eqnarray*}$ teilerfremd sind, den Integritätsbereich nutzt.

Denn wie schließt du ohne den Integritätsbereich von $\begin{eqnarray*} rx_1d+sx_2d=d \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} rx_1+sx_2=1 \end{eqnarray*}$ ?

Du sagst dann ja folgendes: $\begin{eqnarray*} rx_1d+sx_2d-d=d(rx_1+sx_2-1)=0 \Rightarrow rx_1+sx_2-1=0 \end{eqnarray*}$ .

Und genau hier hast du verwendet, dass R ein Integritätsbereich ist. Wäre R kein Integritätsbereich, so wäre die Folgerung nicht zulässig und damit dein Ergebnis $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \end{eqnarray*}$ teilerfremd nicht gezeigt.

Dass man aus der Idee lernen kann mag stimmen, aber sie ist so wie du sie ausführst doch sehr darauf abgestimmt, dass du R als Integritätsbereich voraussetzt.
Bin natürlich dankbar für jede Rückmeldung, aber ich denke, dass mir der Beweis nicht direkt weiterhelfen kann.

05.11.2011, 01:18

juffo-wup

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Zitat:

Original von Mandelbrötchen
Du sagst dann ja folgendes: $\begin{eqnarray*} rx_1d+sx_2d-d=d(rx_1+sx_2-1)=0 \Rightarrow rx_1+sx_2-1=0 \end{eqnarray*}$ .

Ach, diesen Schritt meinst du. Das war vorher nicht so rausgekommen, und ich hatte eben beim Antworten nicht daran gedacht. Da benutze ich tatsächlich, dass d kein Nullteiler ist. Wenn a oder b kein Nullteiler ist, dann allerdings d auch nicht, also braucht man nur diese Voraussetzung, nicht unbedingt dass der ganze Ring R integer ist.

Zitat:

Dass man aus der Idee lernen kann mag stimmen, aber sie ist so wie du sie ausführst doch sehr darauf abgestimmt, dass du R als Integritätsbereich voraussetzt.
Bin natürlich dankbar für jede Rückmeldung, aber ich denke, dass mir der Beweis nicht direkt weiterhelfen kann.

OK, dann werde ich nichts mehr hierzu sagen. Vielleicht hat ja jemand anderes noch eine Idee.

05.11.2011, 02:14

galoisseinbruder

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Zitat:

Original von galoisseinbruder
$\begin{eqnarray*} (I+J)(I \cap J) \subseteq \IJ \end{eqnarray*}$ für Ideale I,J

Anwenden auf $\begin{eqnarray*} (x_1)+(x_2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x_1)\cap (x_2) \end{eqnarray*}$ unter Berücksichtigung von $\begin{eqnarray*} (d)=(a)+(b)=d((x_1)+(x_2)) \end{eqnarray*}$ liefert
$\begin{eqnarray*} d((x_1)\cap (x_2))=d(x_1x_2) \end{eqnarray*}$ und damit die Behauptung.

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