Konvergenz einer Folge beweisen

04.11.2011, 19:53

firedream

Konvergenz einer Folge beweisen

Meine Frage:
Hallo alle zusammen,

Das ist mein erster Beitrag hier. Ich bin zur Zeit etwas am verzweifeln. Mein Prof. hat sich auf die Fahne geschrieben binnen knapp zwei Monate das komplette Thema Analysis durchzuarbeiten. Mir fällt es zugegeben etwas schwer mich in diese Materie einzufinden, mein letzter Kontakt mit Mathematik liegt ca 5 Jahre zurück, und endete etwa mit Kurvendiskussionen (soviel also zu Vorkenntnis des Themas ^^)

Aber nun zur eigentlich Frage. Ich soll beweisen, dass die Folge
$\begin{eqnarray*} (a_{n} )=\frac{2n + 3}{n^{2} + 1} \end{eqnarray*}$ konvergent ist.

Meine Ideen:
Ich würde fast vermuten, dass der Beweis auf die Verwendung des Cauchy Kriteriums hinausläuft? (also ab einem gewissen Grenzwert gilt für alle Folgeelemente: $\begin{eqnarray*} | x_{n} - x_{n+1} | < epsilon \end{eqnarray*}$ . Aber wie es anfangen?

Alternativ könnte ich wohl auch zeigen, dass sie Monoton ist (sofern sie es denn ist) und einen Grenzwert hat, allerdings ist mir bisher noch nicht wirklich gelungen einen Monotoniebeweis (unter Verwendung von Bernoulli) bis zum Schluss korrekt durchzuziehen... Das macht mich echt fertig und lässt mich für die Klausuren schwarz sehen ... Falls jemand Vorschläge hat - bin für alles dankbar. Eine Erklärung gar im Sinne "Analysis für Dummies" wäre super.

Vielen Dank für Eure Zeit und Hilfe im Voraus.

04.11.2011, 20:11

Iorek

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Analysis für Dummies ist es nicht, aber wir haben hier einen Workshop: [WS] Folgen.

Deine Folge lässt sich etwa mit den Grenzwertsätzen bearbeiten. smile

04.11.2011, 22:15

firedream

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wie komme ich denn darauf n0 > 1/ epsilon zu wählen?

04.11.2011, 22:16

Iorek

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Wo willst du $\begin{eqnarray*} n_0>\frac 1\varepsilon \end{eqnarray*}$ wählen?

04.11.2011, 22:23

firedream

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Außerdem verstehe ich die Schlussfolgerung nicht. Der Teil ist noch klar:

$\begin{eqnarray*} | a_{n} - 0 | = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ aber jetzt wieso: $\begin{eqnarray*} \leq \frac{1}{n_{0}} < epsilon \end{eqnarray*}$

Abgesehen von der Problematik, dass ich hier ja den Grenzwert (0) kennen muss...

Ich weiß ich bin schwer von Begriff, aber ich muss es wenigstens einmal komplett verstehen...

04.11.2011, 22:26

firedream

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oh, sorry es geht um das Beispiel in dem Leitfaden

$\begin{eqnarray*} (a_{n}) = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ wo bewiesen wird das diese Folge konvergiert

04.11.2011, 22:27

Iorek

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Zur Wahl des $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ habe ich weiter unten noch etwas geschrieben.

Zitat:

Original von Iorek
Zur Wahl des $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ :
Oftmals scheint dieses regelrecht vom Himmel zu fallen, ohne Begründung warum man es gerade so wählt (bzw. alternativ mit der Begründung "Damit funktionierts!"). Normalerweise geht man bei dieser Art des Konvergenbeweises wie folgt vor:
Üblicherweise hat man eine Ahnung, wie der Grenzwert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ aussehen könnte, (ausrechnen einiger Folgenglieder, Folge sieht ähnlich wie eine bereits bekannte Folge aus), dann wähle zu $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ beliebig ein $\begin{eqnarray*} n_0=\dots \end{eqnarray*}$ , sprich: man lässt die Wahl des $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ erst einmal offen. Anschließend betrachtet man $\begin{eqnarray*} |a_n-a|=\dots \end{eqnarray*}$ und schätzt dieses so weit nach oben ab, bis man etwa wie beim zweiten oben genannten Beispiel $\begin{eqnarray*} \frac 1{n_0} \end{eqnarray*}$ erreicht hat. Nun kann man eine Aussage treffen, wie das $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ gewählt werden muss, damit $\begin{eqnarray*} \frac 1{n_0}<\varepsilon \end{eqnarray*}$ gilt. Diese Wahl von $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ trägt man dann oben ein und der Beweis ist fertig.

Wenn man den Grenzwert einer Folge mittels der Definition nachweisen will, sollte der angestrebte Grenzwert bekannt sein, ja. Üblicherweise kann man sich aber entweder eine gute Vermutung wie dieser aussehen könnte, man hat ihn wie bei deinem Beispiel vorgegeben, oder man verwendet andere Möglichkeiten um die Konvergenz nachzuweisen (Grenzwertsätze, Sandwichlemma etc.).

04.11.2011, 22:30

firedream

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Irgendwie verstehe ich euch Mathematiker glaube ich nicht... einfach die Ausgangswerte so wählen, dass es hinten passt ^^ ... man oh man... stelle man sich vor ich würde das bei der Programmierung so machen *lol*

Ich werde es mal mit den Grenzwertsätzen versuchen, aber nicht mehr heute...

04.11.2011, 22:33

Iorek

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Man schreibt es als Anfangswert hin, nachdem man es verifiziert hat, ja. Aber präsentierst du bei einem Programm auch den gesamten Weg bis du den Code komplett fertig hattest oder stellst du es einfach als fertiges Programm hin, dass so wie es geschrieben ist funktioniert?

05.11.2011, 16:38

firedream

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In der Tat gibt es soetwas wie eine Programmdokumentation (eine interne Dokumetation mit allen technischen Details und eine externe Kundendokumentation, sprich Benutzerhandbuch ) - kurz gesagt: ja, ich erkläre auch den Weg damit ein anderer Programmierer meinen Code warten kann.

Übrigens wollte ich dir nicht zu nahe treten. Mein Kommentar klang wohl fießer als es gemeint war.
Es scheint ja in den meisten Lehr-Büchern gängige Praxis zu sein, es mit Beweisen so zu handhaben... ich kann allerdings aus der Sicht eines Anfängers sagen: man versteht es nicht - auch nicht auf den zweiten Blick, vlt auf den dritten ... oder vierten...

05.11.2011, 16:58

Iorek

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Darum eben diese Erklärung, wie man das $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ meistens wählt. Augenzwinkern

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