Erwartungswert und Varianz einer geometrischen Reihe

04.11.2011, 21:09	scyxxxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert und Varianz einer geometrischen Reihe Meine Frage: Hi, ich habe bereits mit der Suchfunktion gearbeitet, komme aber irgendwie mit den Antworten nicht wirklich weiter. Ich habe eine folgende Formel (ich gleube es handelt sich um eine geometrische Reihe): $\begin{eqnarray} Q^R_t=\sum\limits_{k=1}^\infty (\alpha \cdot (1-\alpha)^{k-1} \cdot X_{t-k}) \end{eqnarray}$ Dabei gilt: $\begin{eqnarray} \alpha \leq 1 \end{eqnarray}$ und alle $\begin{eqnarray} X_{t-k} \end{eqnarray}$ sind i.i.d. Nun benötige ich daraus den Erwartungswert und die Varianz. Meine Ideen: $\begin{eqnarray} E(Q^R_t)&=&E(\sum\limits_{k=1}^\infty (\alpha \cdot (1-\alpha)^{k-1} \cdot X_{t-k}))\\<br /> &=&E(\sum\limits_{k=1}^\infty (\alpha \cdot (1-\alpha)^{k-1}) \cdot E(X_{t-k})\\<br /> &=&\alpha \cdot E(\sum\limits_{k=1}^\infty (1-\alpha)^{k-1}) \cdot \mu\\<br /> &=&\frac{\alpha}{1-(1-\alpha)} \cdot \mu\\<br /> &=&\mu \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Var(Q^R_t)&=&Var(\sum\limits_{k=1}^\infty (\alpha \cdot (1-\alpha)^{k-1} \cdot X_{t-k}))\\<br /> &=&(\sum\limits_{k=1}^\infty (\alpha \cdot (1-\alpha)^{k-1}))^2 \cdot Var(X_{t-k})\\<br /> &=&\alpha^2 \cdot (\sum\limits_{k=1}^\infty (1-\alpha)^{k-1})^2 \cdot \sigma^2\\<br /> &=&\alpha^2 \cdot (\sum\limits_{k=1}^\infty (1-\alpha)^2)^{k-1} \cdot \sigma^2\\<br /> &=&\alpha^2 \cdot \frac{1}{1-(1-\alpha)^2} \cdot \sigma^2\\<br /> &=&\frac{\alpha^2}{2\alpha-\alpha^2} \cdot \sigma^2\\<br /> &=&\frac{\alpha}{2-\alpha}\cdot\sigma^2\\ \end{eqnarray}$ Ist mein Weg richtig? Oder habe ich irgendwo einen Grundlegenden Denkfehler gemacht? Kovarianzen muss ich ja nicht beachten, da die Annahme der i.i.d. getroffen wurde. oder? Vielen Dank im Voraus! Grüße Marcel
04.11.2011, 21:46	speedyschmidt	Auf diesen Beitrag antworten »
, nur das k darf natürlich nicht außerhalb der Summe stehen, ist aber wohl ein Tippfehler
06.11.2011, 13:14	scyxxxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Hilfe! Ja ich hatte nur die Klammer vergessen. Da bin ich ja froh, dass ich das schonmal hinbekommen habe. Ich hoffe nur, dass mir beim Folgethread auch jemand helfen kann! Varianz einer Glättung

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