Analysis Vollständige Induktion

04.11.2011, 22:35

Ligada

Analysis Vollständige Induktion

Meine Frage:
Hi,
muss eine Aufgabe per vollständige Induktion lösen. Ich habe angefangen komme aber nicht weiter. Aufgabe ist folgende:
Beweise $\begin{eqnarray*} n!\leq 2\left (\frac{n}{2}\right)^{n} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Induktionsanfang ist klar

Induktionsschritt n+1

$\begin{eqnarray*} (n+1)!\leq 2\left(\frac{n+1}{2} \right)^{n+1} (n+1)!=(n+1)n!\leq (n+1)*2\left(\frac{n}{2} \right)^{n}\leq 2*\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n+1} \leq \left(\frac{2n^n*n+2n^n}{2^n}\right)\leq 2*\left(\frac{(n+1)^{n+1}}{2^{n+1}}\right) \leq \left(\frac{2n^n*n+2n^n}{2^n}\right)\leq 2*\left(\frac{(n+1)^{n}*(n+1)}{2^{n}*2}\right) \end{eqnarray*}$
Ja hier liegt mein Problem hier komme ich nicht weiter, bitte um Hilfe

05.11.2011, 00:00

Math1986

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RE: Analysis Vollständige Induktion
Die Ungleichung
$\begin{eqnarray*} (n+1)*2\left(\frac{n}{2} \right)^{n}\leq 2*\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n+1} \end{eqnarray*}$
ist offensichtlich, denn es gilt
$\begin{eqnarray*} (n+1)\cdot 2\left(\frac{n}{2} \right)^{n} = (n+1)\cdot 2\cdot\frac{n^n}{2^n}\leq (n+1)\cdot 2\cdot\frac{(n+1)^n}{2^{n+1}}=2*\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n+1} \end{eqnarray*}$

05.11.2011, 00:02

KA123

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RE: Analysis Vollständige Induktion

Zitat:

Original von Ligada

Induktionsschritt n+1

$\begin{eqnarray*} (n+1)!\leq 2\left(\frac{n+1}{2} \right)^{n+1} (n+1)!=(n+1)n!\leq (n+1)*2\left(\frac{n}{2} \right)^{n} \end{eqnarray*}$

Bis hier ist ok, dann solltest du mal
$\begin{eqnarray*} 2\left(\frac{n+1}{2} \right)^{n+1} \end{eqnarray*}$ mit dem binomischen Lehrsatz umformen, sodass du nurnoch potenzen von n und nicht von (n+1) hast. Dann weißt du wie die nächste Abschätzung bei deiner Induktion aussehen muss und dann steht die Behauptung ziemlich schnell da.

edit: ja obige Lösung geht natürlich noch etwas schneller smile

06.11.2011, 17:57

ret23feg

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$\begin{eqnarray*} (x+y)^n= \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k\end{pmatrix}x^{n-k}y^k\\ \text umformen \\ 2*(\frac{n+1}{2} ) \end{eqnarray*}$

verstehe nicht unglücklich

07.11.2011, 12:01

klarsoweit

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RE: Analysis Vollständige Induktion

Zitat:

Original von Math1986
$\begin{eqnarray*} (n+1)\cdot 2\cdot\frac{n^n}{2^n} \leq (n+1)\cdot 2\cdot\frac{(n+1)^n}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Dieser Schritt ist nicht ganz so offensichtlich. Eine kleine Begründung hielte ich da durchaus angebracht.

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