größter gemeinsamer Teiler von Polynomen

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Summi Auf diesen Beitrag antworten »
größter gemeinsamer Teiler von Polynomen
Hallo Mathefreaks,

habe hier Probleme damit den zu bestimmen.
Normalerweise ist dies ja auch kein Problem mittels Primfaktorzerlegung oder dem euklidischen Algorithmus. Habe ähnlich Aufgaben auch schon gelöst...aber die hier hat es in sich. Da muss es einen Trick geben ;o)

Mein Versuch der Lösung mittels euklidischen Algortihmus bringt mich auf folgenden Lösungsweg der durch die anschliesend Probe mit x=7 leider falsch sein muss. Denn für x=7 => ggt(2688, 45) kann unmöglich 12 sein.

Mein fehlerhafter Lösungsweg ;o) lautet wie folgt:





Der letzte von 0 verschiedene Rest lautet 12 was eigentlich der ggt sein sollte! Ist es aber nicht!

Besten Dank im voraus...

MfG Ralph
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Bestimmung des ggT ist absolut korrekt, sofern du Polynome ueber den rationalen Zahlen betrachtest.

In rationalen Zahlen ist der ggT(2688, 45) = 12, = 1, = -17, = 3/4, = ... jede von 0 verschiedene rationale Zahl.
Solltest du allerdings nur ueber den ganzen Zahlen arbeiten duerfen, dann funktioniert schonmal der euklidische Algorithmus nicht so, und der ggT ist dann 1 (und auch -1).
Gruss,
SirJective
 
 
Summi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: größter gemeinsamer Teiler von Polynomen
@all
Beim eintippern der letzten Gleichung ist mit ein Fehler unterlaufen:




nicht:
sondern:

@SirJective
Es handelt sich laut Aufgabenstellung um Reelle Polynome.
Ich weiß nur leider nicht warum jede von 0 verschiedene rationale, oder laut Aufgabenstellung reelle Zahl Lösung sein soll???

Besten Dank im voraus...

MfG Ralph[/quote]
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Lösung von was? Du meinst, jede von Null verschiedene reelle Zahl kann der ggT sein?
Ja, das ist auch richtig.

Hast du einen ggT gegeben, so ist auch ggT*u ein grösster gemeinsamer Teiler, wobei u eine Einheit (invertierbares Element) deines Ringes ist, über dem du arbeitest.

In deinem Fall sind die invertierbaren Elemente von R[X] (= Ring der Polynome mit reellen Koeffizienten) gleich R\{0}. Jede von Null verschiedene reelle Zahl ist eine Einheit in R[X].
Da der ggT deiner beiden Polynmone eine Einheit ist, sind die beiden Polynome teilerfremd und jede beliebige von Null verschiedene reelle Zahl ist ein ggT der beiden.
Summi Auf diesen Beitrag antworten »

@IrrLicht
Du sagst die beiden Polynome sind teilerfremd was bei dem gemachten Beispielt für x=7 den ggt(2688,45) = 3 liefert!
Damit solte gezeigt sein das die beiden Polynome nicht teilerfremd sind. Es muss also eine Lösung geben. Ich hoffe nicht das wir hier Algebraische Strukturen benötigen um eine triviale Lösung zu finden. Immerhin ist das erst Übungszettel 3 von 37 :P
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Sei R ein faktorieller Ring.
Zwei Elemente a,b aus R heissen teilerfremd, wenn ihr grösster gemeinsamer Teiler eine Einheit ist.

3 ist in deinem Fall eine Einheit von R[X], da kann ich auch nichts dagegen machen (3*1/3 = 1). Augenzwinkern Die beiden Polynome sind daher teilerfremd.
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Summi
Du sagst die beiden Polynome sind teilerfremd was bei dem gemachten Beispielt für x=7 den ggt(2688,45) = 3 liefert!
Damit solte gezeigt sein das die beiden Polynome nicht teilerfremd sind.


Mal ne Gegenfrage: Sind die Polynome
x
und
x+10
teilerfremd? Was ist ihr ggT?

Setzt du x=10 ein, erhaeltst du ggT(10,20)=10.
Setzt du x=2 ein, erhaeltst du ggT(2,12) = 2.
Setzt du x=5 ein, erhaeltst du ggT(5,15) = 5.
Setzt du x=7 ein, erhaeltst du ggT(7,17) = 1.
Was ist dann der ggT?

Bei der Bestimmung des ggT zweier Polynome geht es nicht darum, Zahlen fuer x einzusetzen und den ggT der Werte zu bestimmen! Die Polynome selbst sind die Objekte, mit denen du arbeitest:

Was ist der ggT von
x+2
und
2x+4
?
Setzt du x=1 ein, erhaeltst du ggT(3,6)=3. ABER:
Der ggT ist hier keine Zahl, sondern das Polynom x+2.
Summi Auf diesen Beitrag antworten »

@SirJective
Ich möchte den ggt ganz allgemein für alle x bestimmen!
Mit dem Einsetzen der Zahlen mache ich die Probe ob mein ggt den richtig ist. Ich würde nämlich eigentlich erwarten das ich bei den Polynomen einen ggt in abhängigkeit von x erhalte. Dummerweise kommt eben 12 raus und damit kann ich leider gar nichts anfangen da ich gezeigt habe das der ggt nicht 12 ist für alle x.

Für Dein erstes Beispiel scheitere ich auch genauso den ggt ganz allgemein für alle x zu bestimmen.

Für Dein zweites Beispiel funtkioniert der euklidische Algorithmus problemlos:



Lösungsweg:

Der letzte von 0 verschiedene Rest ist x+2.
Macht man die Probe für x=7 so ist ggt=9 wunderbar ;o)

@IrrLicht
Da muss ich nochmal nachlesen was das mit Einheiten und Ringen auf sich hat ;o)
Werde der Spur aber nachgehen...
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Summi
Ich möchte den ggt ganz allgemein für alle x bestimmen!


Das hast du aber bisher nicht geschrieben. Bisher hast du davon geschrieben, dass deine Aufgabe darin besteht, den ggT von Polynomen zu bestimmen, nicht den ggT von parameterabhängigen Zahlen.

Zitat:
Mit dem Einsetzen der Zahlen mache ich die Probe ob mein ggt den richtig ist. Ich würde nämlich eigentlich erwarten das ich bei den Polynomen einen ggt in abhängigkeit von x erhalte. Dummerweise kommt eben 12 raus und damit kann ich leider gar nichts anfangen da ich gezeigt habe das der ggt nicht 12 ist für alle x.


Sobald du den ggT von Polynomen bestimmst, entfällt die "Probe durch Einsetzen".
Willst du stattdessen den ggT von Zahlen bestimmen, die von x abhängen, dann kannst du natürlich die Probe machen, nur dann ist der ggT immer 1, da du den ggT von reellen Zahlen bestimmst. Und wie Irrlicht schon sagte, sind dann alle außer 0 Einheiten.

Zitat:
Für Dein erstes Beispiel scheitere ich auch genauso den ggt ganz allgemein für alle x zu bestimmen.


Setze mal x=sqrt(2) ein. Was ist da der ggT?
Du musst erkennen, dass Einsetzen nichts bringt für die Aufgabe, wie Irrlicht und ich sie verstehen.

Zitat:
Für Dein zweites Beispiel funtkioniert der euklidische Algorithmus problemlos:



Lösungsweg:

Der letzte von 0 verschiedene Rest ist x+2.
Macht man die Probe für x=7 so ist ggt=9 wunderbar ;o)


Tja, mach mal die Probe für x=0,5.

Gruss,
SirJective
Summi Auf diesen Beitrag antworten »

@SirJective
Für Dein Beispiel macht es für x=0,5 den ggt=2,5 und das ist ebenfalls korrekt. Wir haben also einen von x abhängigen ggt.

Mein konkrete Aufgabe ist also nochmal im ersten Beitrag den ggt der gegebenen Polynome zu bestimmen.

und ich kann immernoch nichts finden zu den Einheiten!!! Was sind Einheiten???

schreibt doch am einfachsten mal bitte den Lösungsweg auf???

Sorry das ich so ne harte Nuss bin aber vielleicht habsch ja och wieder nen Brett vor dem Kopf verwirrt
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst, der ggT von 2,5 und 5 ist 2,5? Warum?
Ich behaupte, der ggT von 2,5 und 5 - in R - ist 1. Und damit widerspreche ich dir nicht!

Gut, du sollst also den ggT der Polynom bestimmen. Dann höre bitte auf, Zahlen für x einzusetzen.

Du hast den ggT der Polynome x^4 + x^3 - x^2 - x und x^2 - 4 bereits richtig bestimmt:
Er ist 12. Und gleichzeitig ist er 1.

Weisst du, dass die Polynome über R einen Ring bilden? Wenn nicht, siehe:
http://de.wikipedia.org/wiki/Ringtheorie
http://de.wikipedia.org/wiki/Polynom
Einheiten eines Ringes sind die Teiler der 1. Guckst du hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Einheit_(Mathematik)
Der ggT ist nur bis auf Einheiten bestimmt.
Die Definition in http://de.wikipedia.org/wiki/ggT ist leider noch unvollständig, da nur auf die ganzen Zahlen bezogen. Wenn du ein bisschen Englisch kannst, findest du hier mehr Info:
http://en.wikipedia.org/wiki/Greatest_co...mmutative_rings
Summi Auf diesen Beitrag antworten »

@SirJective
Ich blicks nicht! 12 ist die richtige Lösung und gleichzeitig ist auch 1 die richtige Lösung???

Kann man da vielleicht sagen weil 12 eine Zahl ist, ist der ggt=1 und damit sind die Polynome teilerfremd???
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das kann man sagen.

Wie ist denn - so ganz nebenbei gefragt - der ggT von Polynomen bei dir definiert?
Wenn du diese Definition laange anschaust, und sie mal für 1 und 12 überprüfst, wirst du feststellen, dass sie beide die Definition erfüllen, und damit beide ein ggT sind.
Wie schon gesagt, der ggT ist nicht eindeutig bestimmt.

Sobald aber der ggT von Polynomen mit reellen Koeffizienten eine reelle Zahl ist, sind die Polynome teilerfremd.

PS: Hast du dir die Links mal angeschaut? Helfen sie dir weiter?
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Was dir wohl etwas ungünstig im "Wege liegt" ist die Vorstellung, das x sei einfach nur ein Platzhalter für eine reelle Zahl. Das ist es hier nicht! Das x ist ein Symbol, das eine eigenständige Bedeutung hat. Es ist keine reelle Zahl und auch kein Platzhalter, in dem man etwas einsetzen kann. Meistens wird es daher X (also gross) geschrieben, damit da keine Verwirrung aufkommt.
Summi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von SirJective
Sobald aber der ggT von Polynomen mit reellen Koeffizienten eine reelle Zahl ist, sind die Polynome teilerfremd.


Das ist es wonach ich gesucht habe!
Schade das soetwas nicht im Bronstein steht.
Besten Dank für eure Mühen mir das bei zu bringen Wink

@IrrLicht
Also ich würde schon sagen das x steht für eine Variable für die ich eine reelle Zahl einsetze.
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Unsere Mühen, dir das beizubringen, sind offenbar bisher nicht von Erfolg gekrönt. unglücklich

Wenn x eine Variable wäre, für die du eine reelle Zahl einsetzt, dann ist der ggT von
x^4 + x^3 - x^2 - x und x^2 - 4
gleich 1, für jedes x.
Und das, weil der ggT zweier von 0 verschiedener reeller Zahlen gleich 1 ist.

Deine Aufgabe ist es jedoch - ich wiederhole mich - den ggT von Polynomen zu bestimmen. Nicht den ggT von parameterabhängigen reellen Zahlen.
Und wenn x^2 - 4 ein Polynom ist, dann ist x keine Variable für die du eine reelle Zahl einsetzt.

Sobald du anstelle von x eine reelle Zahl einsetzt, hast du kein Polynom mehr, sondern eine reelle Zahl. Die Zuordnung
x -> x^2 - 4
ist kein Polynom, sondern eine Polynomfunktion. Der ggT von bestimmten Sorten von Funktionen ist zwar auch definiert, aber auch den errechnest du nicht, indem du x-Werte einsetzt.

Bitte, lies DAS:
http://de.wikipedia.org/wiki/Polynom#Pol...trakten_Algebra
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Summi
@Irrlicht
Also ich würde schon sagen das x steht für eine Variable für die ich eine reelle Zahl einsetze.


Vielleicht sollte ich an dieser Stelle mal fragen, wie alt du bist und ob du schon zur Uni gehst und eine Algebra-Vorlesung hörst. Denn wenn du noch ein Schüler bist, dann ist dieses Thema hier schon ziemlich niveauvoll. Wenn du aber Student bist (was ich angenommen habe), dann lies mal meinen Beitrag zuende.


Ich weiss, das du das sagst. Augenzwinkern Du hast die Aufgabe richtig gerechnet, aber verstanden, was du da getan hast, hast du leider nicht. Dabei ist das wirklich spannend! Augenzwinkern

Es ist nämlich so, dass Teilbarkeitstheorie eines Körpers gar keinen wirklichen Sinn macht. Wenn du nun x als "beliebige reelle Zahl" auffassen würdest, dann bräuchte man sich die Frage nach dem ggT nicht mehr stellen. Der wäre immer jede beliebige reelle Zahl ausser Null.
Wenn du aber Teilbarkeit in Ringen betrachtest, dann wird das ganze Thema erst interessant. In Ringen teilt nicht jedes Element jedes andere Element und die ggTs sind auch nicht alle 1 oder eine Einheit.

Und hier rechnen wir in einem Ring: dem Polynomring über den reellen Zahlen. In diesem Ring ist X ein sogenanntes "ausgezeichnetes Element" - es ist keine reelle Zahl. X ist auch nicht invertierbar, es gibt kein 1/X in diesem Ring.
Die Elemente des Polynomringes sind keine Funktionen, die von R nach R abbilden - sie sind formale endliche Reihen in X mit reellen Koeffizienten. Man kann in sie nichts "einsetzen", wie man es von den Funktionen her kennt.
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