Injektivitaet & Surjektivitaet

05.11.2011, 10:36

Shakki

Injektivitaet & Surjektivitaet

Hallo ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe... Waere dankbar wenn mir das jemand verstaendlich erklaeren koennte.. weil In der Uni nicht wirklich Beispiele gegeben werden, und die im Internet auch eher "ueberschaubar" sind..

http://img94.imageshack.us/img94/1561/unbenanntuiv.jpg

a) surjektivität besagt, dass für jedes N es mindestens 1 M gibt.
Das wird doch sichergestellt weil der Betrag von M immer positiv ist oder?

Also so sieht das bei aufm Papier im moment aus..

http://img811.imageshack.us/img811/4813/20111104150918.jpg

05.11.2011, 10:53

Airblader

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Die Zeile

$\begin{eqnarray*} \forall_{n \in \mathbb N} \exists_{m \in M} : f(m) = n \end{eqnarray*}$

ergibt überhaupt keinen Sinn, denn die Funktion bildet nicht Elemente von M ab, sondern es bildet die M's selbst ab. Soll heißen: Nimm eine beliebige endliche Teilmenge der natürlichen Zahlen, steck sie in die Funktion und die Funktion sagt dir, wie viele Elemente diese Menge hatte. Also zum Beispiel $\begin{eqnarray*} f(\{1, 2, 3\}) = 3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(\{1, 5, 9, 111\}) = 4 \end{eqnarray*}$ .

Für die Surjektivität ist nun strikt nach Definition zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} \forall_{n \in \mathbb N} \exists_{M \subseteq \mathbb N \text{ endlich}} : f(M) = n \end{eqnarray*}$

Am einfachsten zeigst du dies, indem du für ein beliebiges n einfach eine solche Menge angibst.

air

05.11.2011, 11:38

Shakki

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Danke schonmal dafuer, aber ich verstehe noch nicht ganz fuer was

Zitat:

Original von Airblader
Also zum Beispiel $\begin{eqnarray*} f(\{1, 2, 3\}) = 3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(\{1, 5, 9, 111\}) = 4 \end{eqnarray*}$ .

das sein soll und was ich damit machen soll, sorry bin grad verwirrt -.-

05.11.2011, 11:39

Airblader

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Das sind zwei exemplarische Funktionswerte, um dir zu zeigen, was die Funktion überhaupt macht: Sie ordnet endlichen Teilmengen von IN die Anzahl ihrer Elemente zu.

air

05.11.2011, 11:56

Shakki

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Zitat:

Original von Airblader

Für die Surjektivität ist nun strikt nach Definition zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} \forall_{n \in \mathbb N} \exists_{M \subseteq \mathbb N \text{ endlich}} : f(M) = n \end{eqnarray*}$

Am einfachsten zeigst du dies, indem du für ein beliebiges n einfach eine solche Menge angibst.

air

Wie setze ich das denn ein? Sorry fuer die wahrscheinlich dummen Fragen aber bin grad irgendwie Hilflos

05.11.2011, 11:58

Airblader

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Das weiß ich nicht, weil ich nicht weiß, was du einsetzen möchtest. Wie du es jedoch beweisen kannst, dafür habe ich dir einen Tipp gegeben. Wir können auch einfacher anfangen:

Was ist die einfachste Menge, die du dir vorstellen kannst, die auf 7 abgebildet wird? Wie sieht's mit 9 aus? Ziehe vor allem mein erstes Beispiel dafür als Hilfe heran.

air

05.11.2011, 12:11

Shakki

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Zitat:

Original von Airblader
Das weiß ich nicht, weil ich nicht weiß, was du einsetzen möchtest. Wie du es jedoch beweisen kannst, dafür habe ich dir einen Tipp gegeben. Wir können auch einfacher anfangen:

Was ist die einfachste Menge, die du dir vorstellen kannst, die auf 7 abgebildet wird? Wie sieht's mit 9 aus? Ziehe vor allem mein erstes Beispiel dafür als Hilfe heran.

air

um ehrlich zu sein ich hab absolut keine ahnung... mathe ueberfordert mich total.. ich sitze schon seit vllt 6stunden an der aufgabe und finde nirgends irgendwas was mir helfen koennte

06.11.2011, 10:05

Airblader

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Gib doch mal folgende Funktionswerte an:

$\begin{eqnarray*} f(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}) = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}) = \end{eqnarray*}$

Und zur Erinnerung: f will eine endliche Teilmenge von IN als Argument und gibt als Wert deren Mächtigkeit (also die Anzahl der Elemente) zurück.

air

06.11.2011, 12:28

Shakki

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Zitat:

Original von Airblader
Gib doch mal folgende Funktionswerte an:

Und zur Erinnerung: f will eine endliche Teilmenge von IN als Argument und gibt als Wert deren Mächtigkeit (also die Anzahl der Elemente) zurück.

air

$\begin{eqnarray*} f(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}) = 6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}) = 11 \end{eqnarray*}$

oder? o.o

06.11.2011, 12:30

Airblader

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Genau (du musst übrigens nicht den ganzen Beitrag zitieren). Und für die Surjektivität musst du das Spiel jetzt rückwärts betreiben: Ich gebe dir eine Zahl n und du gibst mir eine Menge, die auf diese Zahl abgebildet wird. Wie kannst du diese allgemein (also in Abhängigkeit von n) konstruieren? Die Beispiele verraten es eigentlich schon! Augenzwinkern

air

06.11.2011, 13:58

Shakki

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siehst du... das bringt mich zum verzweifeln ich weiss wieder nicht was du von mir willst.... langsam glaub ich, ich bin zu dumm fuer mathe -.- da weiss man was einem 12 pkt in der oberstufe gebracht haben...

06.11.2011, 14:07

Airblader

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Lies doch die Beispiele einfach mal rückwärts.

Wäre n = 6, so könntest du {1,2,3,4,5,6} antworten. Wäre n = 11, so könntest du {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} antworten. Und jetzt sollst du das einfach für allgemeines n machen.

air

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