Kompaktheit eines metrischen Raumes widerlegen |
| 05.11.2011, 11:48 | xcx33 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Kompaktheit eines metrischen Raumes widerlegen Hallo! Ich muss zeigen, dass der Metrische Raum der Menge M mit der Metrik nicht kompakt ist. (Ist übrigens mein erster Beweis von Kompaktheit eines metrischen Raumes 
)Abgeschlossenheit habe ich schon gezeigt, aber bei der Beschränktheit stehe ich gerade an. Unser Assistent hat gesagt, dass der Metrische Raum nicht beschränkt ist, d.h. dass - falls ich das Folgenkriterium richtig interpretiere - es eine Folge gibt, die in R konvergiert, aber im metrischen Raum nicht. Meine Ideen: Falls ich das Folgenkriterium richtig interpretiert habe, müsste ich ja zeigen, dass nicht konvergent ist. Aber das ist es ja, da die Folge nicht divergiert :/ Schätze mal, dass ich irgendwas falsch verstanden habe. Danke vielmals im Voraus für jegliche Hilfe! |
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| 05.11.2011, 12:25 | Huy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Moin xcx33, lange nicht gesehen. 
ist bezüglich dieser Metrik ganz sicher beschränkt, keine Ahnung, was dir dein Assistent da erzählt hat. MfG |
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| 05.11.2011, 12:46 | xcx33 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
D.h. mein Lösungsweg wäre korrekt? |
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| 05.11.2011, 12:50 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Kompaktheit eines metrischen Raumes widerlegen
Hallo, was ist die Menge M hier? Abakus
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| 05.11.2011, 12:51 | Huy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich bin mir nicht sicher, was du mit deinem Lösungsweg zeigen möchtest. Ich vermute, dass du zeigen willst, dass bzgl. dieser Metrik im Sinne des Folgenkriteriums nicht abgeschlossen ist. Das stimmt aber nicht. Das heisst, du versuchst etwas falsches zu zeigen. Falls dein "Lösungsweg" irgendetwas anderes zeigen sollte, so wäre ich für Aufklärung dankbar. MfG PS: In deinem Startpost redest du vom metrischen Raum mit einer beliebigen Menge M (und angegebener Metrik). Meintest du da nicht (wie auf dem Übungsblatt)? |
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| 05.11.2011, 12:58 | xcx33 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, Danke für die schnellen Antworten! Ja, ich meinte R
Ich muss widerlegen, dass (R,d(x,y)) folgenkompakt ist. Unser Assistent hat gesagt, wir sollten nun zuerst die Abgeschlossenheit zeigen (d.h. dass d(x,y) auf M nie gegen unendlich gehen kann, wie beispielsweise die euklidische Norm auf R) und daraufhin widerlegen, dass es folgenkompakt ist. Also quasi als Übung nicht gleich die Folgenkompaktheit widerlegen, sondern zuerst die Abgeschlossenheit zeigen. Die Abgeschlossenheit habe ich gezeigt und nun muss ich die Folgenkompaktheit widerlegen. Dafür muss ich entweder zeigen, dass (R,d(x,y)) gegen das Folgenkriterium verstößt oder dass es nicht abgeschlossen ist. Ich habe nun versucht, zu zeigen, dass (R,d) gegen das Folgenkriterium verstößt, d.h., dass es eine Folge gibt, die in R einen Häufungspunkt besitzt, aber in (R,d(x,y)) nicht. Danke im Voraus! |
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| 05.11.2011, 13:10 | Huy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nehme an, dass kompakt bzgl. angegebener Metrik ist. Betrachte dann die Folge und finde einen Widerspruch. MfG |
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| 05.11.2011, 13:41 | xcx33 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für die schnelle Antwort! Meinst du, dass der Grenzwert von a_n in R = n ist, oder dass jedes Glied in R = n ist? lg |
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| 05.11.2011, 13:46 | Huy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich bin mir nicht sicher, ob ich deine Frage richtig verstehe, aber ich tendiere eher zu letzterem. MfG |
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| 05.11.2011, 14:14 | xcx33 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sry, habs etwas unverständlich formuliert, ich werds nochmal besser formulieren: Meinst du für a_n=n, dass a1=n, a2=n, a3=n, a4=n, ... d.h. zb die Folge a_n=3 -> a_1=3, a_2=3, ... oder, dass die gesamte Folge gegen n konvergiert? Danke im Voraus! |
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| 05.11.2011, 14:17 | Huy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
. MfG |
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| 05.11.2011, 21:32 | xcx33 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für die Antwort! Aber wie soll ich da jetzt vorgehen? So wie bei meinem ersten Beitrag? Danke im Voraus! |
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| 05.11.2011, 21:57 | xcx33 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sry für den Doppelpost, aber ich glaube, ich habe es hinbekommen. Ich habe mittels Epsilontik gezeigt, dass unter der Metrik, die gegeben ist, ein Widerspruch für den Grenzwert herauskommt. (Siehe Wikipedia: Grenzwert_(Folge) -> Grenzwert einer Folge von Elementen eines metrischen Raumes Zuerst: , wobei n der nte Wert der Folge ist (d.h. n = a_n) und a_i ein beliebiges Glied < das nte glied (z.b. das n-1'te Glied). Am Ende kommt etwas in der Art heraus: . Das geht natürlich nicht, weil bei Epsilon = 0.5 zb wäre selbst das n-1'te Glied kleiner als n-0.5. Kommt das so ungefähr hin? 
Danke im Voraus! |
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| 05.11.2011, 22:13 | Huy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Warum sollte gelten? MfG |
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| 05.11.2011, 22:29 | xcx33 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für die schnelle Antwort! Gemäß der Definition auf Wikipedia ist die Folge nur dann konvergent, wenn das gilt. Und das muss sie sein, wenn (R,d(x,y)) abgeschlossen sein soll, da das Folgenkriterium voraussetzt, dass (R,d(x,y)) nur dann kompakt ist, wenn gilt, dass jede Folge x_k in (R,d(x,y)) einen Häufungspunkt besitzt. Darf leider keine Links posten :/ Aber die Definition steht auf: Wikipedia: Grenzwert_(Folge) -> Grenzwert einer Folge von Elementen eines metrischen Raumes lg |
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