Fehlerrisiko bei binärer Klassifikation

05.11.2011, 12:19

TanjaH

Fehlerrisiko bei binärer Klassifikation

Hallo,

ich habe folgene Aufgabe:

Zitat:

Gegeben sei ein binäres Klassifikationsproblem mit Eingabedomäne $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb R; \end{eqnarray*}$ Parameter $\begin{eqnarray*} \beta \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und dem Klassifikator $\begin{eqnarray*} f_{\beta}(a)= +1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a > \beta \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ sonst.

1. Zeigen Sie dass das Fehlerrisiko in Bezug auf die 0-1 Verlustfunktion definiert ist als
$\begin{eqnarray*} R(f_{\beta})=P(B=+1)\int_{-\infty}^\beta \! p(a|B=1) \, da +P(B=-1)\int_{\beta}^{\infty} \! p(a|B=-1) \, da \end{eqnarray*}$

2. Zeigen Sie durch differenzieren dass $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ die Bedingung $\begin{eqnarray*} p(\beta|B=-1)P(B=-1)=p(\beta|B=1)P(B=1) \end{eqnarray*}$ erfüllen muss, um das Fehlerrisiko zu minimieren.

3. Geben Sie einen Wert für $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ an, der die obige Bedingung erfüllt und das Fehlerrisiko maximiert.

Meine Überlegungen zu 1:
Das Fehlerrisiko des Klassifikators $\begin{eqnarray*} f_{\beta} \end{eqnarray*}$ ist der Erwartungswert der Verlustfunktion, also
$\begin{eqnarray*} R(f_{\beta})=\mathbb E[\mathbb L(f(A),B)]<br /> =\mathbb E[\mathbb E[\mathbb L(f(A),B)|A]] <br /> =\mathbb E[\mathbb L(f(a),B=1)P(B=1|A)+\mathbb L(f(a),B=-1)P(B=-1|A)] \end{eqnarray*}$ ,

wobei die Verlustfunktion hier $\begin{eqnarray*} \mathbb L(f(a),b)=1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} f(a) \neq b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sonst ist. Die Verlustfunktion kann ich nun einmal für $\begin{eqnarray*} b=1 \end{eqnarray*}$ und einmal für $\begin{eqnarray*} b=-1 \end{eqnarray*}$ einsetzen. Leider komme ich an dieser Stelle aber nicht weiter und wäre dankbar wenn mir jemand helfen könnte.

06.11.2011, 11:56

TanjaH

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Also Punkt 1 meine ich jetzt verstanden zu haben. Das Fehlerrisiko ist hier einfach die Wahrscheinlichkeit einer Falschklassifizierung, also $\begin{eqnarray*} B=+1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a < \beta \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=-1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a > \beta \end{eqnarray*}$ .

Hat jemand eine Idee für Punkt 2.

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