Beweis Assoziativität bei (z,+)

05.11.2011, 13:04	JuniorMathematiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Assoziativität bei (z,+) Meine Frage: Hi, also habe mal eine Frage Ich muss in der Uni eine Aufgabe lösen bin mir aber nicht sicher, ob das der richtige Ansatz ist. Die Aufgabe ist, dass man zeigen soll, dass (Z,+) eine kommutative Gruppe ist (also abelsch ist). Dazu ist bei der Aufgabenstellung angegeben, dass man die ganzen Zahlen Z als Menge von Äquivalenzklassen von Paaren natürlicher Zahlen bzgl. Äquivalenzrelationen betrachten soll. D.h. (m1,n1)~(m2,n2):<=> m1+n2=m2+n1 Meine Ideen: So jetzt ist mein Ansatz also, dass die Addition ja definiert ist durch [(m1,n1)]+[(m2,n2)]:=[m1+m2,n1+n2] (stand auch noch in der Aufgabenstellung) ich habe also jetzt noch ein drittes paar dazugenommen (m3,n3), dieses paar steht auch in Relation zu den anderen 2. Beweisen soll ich ja im Prinzip folgendes: (a+b)+c=a+(b+c) Sagen wir mal a=(m1,n1), b=(m2,n2), c=(m3,n3) Dann kann ich ja sagen, dass a+b+c=(m1,n1)+(m2,n2)+(m3,n3) Nach Definition der Addition kann ich ja dann schreiben: [(m1+m2,n1+n2)] + [(m3+n3)] -> das sieht ja schon mal zumindest nach der linken hälfte des assoziativgesetzes aus. Meine Frage ist jetzt ob man so anfangen kann, oder ob ich ganz auf dem Holzweg bin? Und wenn das der richtige Weg ist... kann ich dann dadurch, da es sich ja um ÄR handelt und diese ja symmetrisch sind, einfach a,b und c beliebig vertauschen und die Definition der Addition für jede andere Anordnung (z.B. b+c+a) annehmen? Weil dann wüsste ich widerrum wie ich weitermachen müsste danke schon einmal im Vorraus.
06.11.2011, 10:18	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Hau ran, fang an, dann kommst du bestimmt weiter. Zu zeigen: Existenz des neutralen Elements, des Assoziativgesetz, der Existenz von inversen Elementen (Gruppe) und des Kommutativgesetz (abelsche Gruppe). Geht alles ganz einfach, hinschreiben, fertig.

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