Verknüpfungstafel und Axiome einer abelschen Gruppe

05.11.2011, 13:12	escoli	Auf diesen Beitrag antworten »
Verknüpfungstafel und Axiome einer abelschen Gruppe Meine Frage: Gegeben sei ein Rechteck, das kein Quadrat ist; wir bezeichnen den Schnittpunkt der beiden Diagonalen als Mittelpunkt des Rechtecks. Es bezeichne ferner: Id die Symmetrieabbildung, die das Rechteck so laßt, wie es ist; a) die Symmetrieabbildung, die das Rechteck an der Parallele zur kurzen Seite durch den Mittelpunkt spiegelt; b)die Symmetrieabbildung, die das Rechteck an der Parallele zur langen Seite durch den Mittelpunkt spiegelt; c) die Symmetrieabbildung, die das Rechteck um 180 Grad um den Mittelpunkt dreht. Stellen Sie zur Verknüpfung, die durch Hintereinanderausführung auf der Menge {Id, a, b, c} gegeben ist, eine Verknüpfungstafel auf, und bestätigen Sie fur alle Axiome einer abelschen Gruppe außer der Assoziativität, dass sie erfüllt sind.
05.11.2011, 13:30	Hamsterchen	Auf diesen Beitrag antworten »
du solltest schon eine konkrete frage stellen und nicht einfach deine aufgabe posten. so wird dir sicher nicht geholfen. wo ist denn dein problem? die tafel? die axiome??? musst schon was dazu sagen...
05.11.2011, 20:31	escoli	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Tafel und die Axiome, einfach alles. Ich verstehe überhaupt nicht, wo ich ansetzen soll, um diese Aufgabe zu lösen, bzw. zu verstehen. Daher bin ich für ein paar Tipps oder Anregungen sehr dankbar.
05.11.2011, 21:05	Klassi	Auf diesen Beitrag antworten »
Weißt du was eine Verknüpfungstafel ist? Wie sieht diese im Aufbau erstmal aus und was gehört in die einzelnen Spalten und Zeilen ? Die Gruppenaxiome findest du ja in deinem Skript. Hier hast du halt eine feste Gruppe gegeben mit 4 Elementen. Die Assoziativität kannst du aus Assoziativität von Abbildungen folgern. Nun fehlt: - die Abgeschlossenheit der Menge unter der Verküpfung von Abbildungen. - ein neutrales Element. - Inverse zu allen Elementen. - Kommutativität. Anders als in abstrakteren Gruppe, kannst du die Axiome Elementweise nachprüfen. Zur Anschauung kannst du dir mal die Diedergruppe anschauen. In ihr geht es auch um Drehungen und Spiegelungen, jedoch an regulären Vielecken. (z.B. einem Quadrat) Gruß
05.11.2011, 22:26	escoli	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank schonmal, ich weiss grundsätzlich, wie eine Verknüpfungstafel aussieht. In der Aufgabe kommen in die erste Spalte und Zeile jeweils Sa, Sb und D180. das bedeutet, es entstehen 9 Verknüpfungen. Nur leider weiss ich nicht, was z.B. bei Sa und Sa oder Sa und D180 usw. steht. Die Axiome kenne ich grundsätzlich auch, nur wie sieht formal eine Bestätigung eines Axioms aus? Gruß
05.11.2011, 22:39	Klassi	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest die Identität nicht vergessen. Damit hast du eine 4 mal 4 Tabelle oder 5 mal 5 wenn du die außeren Bezeichnungen noch dazuzählst. Also Sa und Sb sollten Spiegelung a und b sein oder? Und D180 dann die 180 Grad Drehung. Male dir dazu ein Rechteck auf und bezeichne die 4 Ecken mit A B C und D. Dann wendest du alle möglichen 2er Kombos der Elemente Sa, Sb, Id und D180 auf die 4 Ecken an und siehst, was rauskommt. Beispiel: SaSa sowie SbSb ergibt die Identität, denn zweimal an der selben Achse spiegeln bewirkt nichts. Wie sieht dann so ein SaSb oder SbSa aus? Zur Bestätigung der Axiome kannst du (bis auf Assoziativität, welche du aber bereits gegeben hast, wenn du weißt, dass die Verknüpfung von Abbildungen assoziativ ist.) die Tabelle benutzen. Bsp: Kommutativität erkennt man, wenn man mal unter und über die Hauptdiagonale der Tafel schaut. Gruß
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06.11.2011, 10:07	escoli	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen, vielen Dank, du hast mir sehr weitergeholfen, Gruß

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