Äquivalente Maße

05.11.2011, 14:07	gast11	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalente Maße Meine Frage: Hallo Ich möchte zwei äquivalente Maße $\begin{eqnarray} \nu \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ finden, sodass $\begin{eqnarray} \nu \end{eqnarray}$ keine Dichte bzgl. $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ besitzt. Aber irgendwie komme ich auf nichts, das passt. Meine Ideen: Damit es klappt, müsste $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ nicht $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -endlich sein. Dann würde ja der Satz von Radon-Nikodym nicht mehr greifen. Danke schon mal im Vorraus!!
05.11.2011, 14:25	Zündholz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalente Maße Was verstehst du unter einer Dichte bzw. wohin bildet diese bei dir ab? Mir schwebt da irgendwie gerade ein Maß vor, dass nur der leeren Menge die 0 zuordnet und sonst unendlich ist. (Zwei Maße heißen schon äquivalent wenn sie absolutstetig zueinander sind?)
05.11.2011, 14:45	gast11	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalente Maße Hallo $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ besitzt Dichte f bzgl. $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ bedeutet: $\begin{eqnarray} \nu(A)=\int\limits_{A} f \, d\mu \, \forall A \in \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra $\begin{eqnarray} \nu \end{eqnarray}$ äquivalent zu $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ bedeutet, dass sie die gleichen Nullmengen besitzen, d.h.: $\begin{eqnarray} \mu(N)=0 \Longleftrightarrow \nu(N)=0 \end{eqnarray}$
05.11.2011, 15:22	Zündholz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalente Maße Ich denke wenn man für das eine Maß \nu das nimmt was ich oben hatte, und für das andere das Zählmaß, also \mu(A) = \|A\|. Dann dürfte \mu keine Dichte zu \nu besitzen. Kannst du dir ja mal durch den Kopf gehen lassen.
05.11.2011, 17:56	gast11	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalente Maße @Zündholz: Erstmal danke für deine Idee. Auf jeden Fall haben beide Maße dann die selbe Nullmenge. Meine Frage ist nun, wie ich nachweise, dass die Dichte nicht existiert. Theoretisch würde ich das mit einem Widerspruchsbeweis machen. Also annehmen es gäbe eine und damit irgendwie auf einen Widerspruch kommen. Aber irgendwie klappt das nicht. Hat da jemand vielleicht eine Idee?
05.11.2011, 18:04	Zündholz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalente Maße Also ich hätte irgendwie so argumentiert: f ist als Dichte positiv, nimmt man nun eine endliche Menge also {1} oder so, dann ist die linke seite 1, und die rechte Seite 0 für f = 0 oder eben unendlich, was ein Widerspruch ist.
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06.11.2011, 11:07	gast11	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalente Maße Danke für deine Hilfe!!!

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