Statistisches Modell

05.11.2011, 15:32	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Statistisches Modell Meine Frage: Welches statistische Modell $\begin{eqnarray} (M,\mathcal{A},\mathcal{P}) \end{eqnarray}$ wird durch die folgenden Modellannahmen beschrieben? Seien $\begin{eqnarray} X_i, i=1,\hdots,n \end{eqnarray}$ unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen mit $\begin{eqnarray} X_i\sim\operatorname{Bin}(1,p); p\in[0,1] \end{eqnarray}$ ---- Betrachten Sie die Parametrisierungen $\begin{eqnarray} \theta_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \theta_2 \end{eqnarray}$ , die jedem $\begin{eqnarray} P\in\mathcal{P} \end{eqnarray}$ gerade den Erwartungswert $\begin{eqnarray} E(X_1) \end{eqnarray}$ bzw. die Varianz $\begin{eqnarray} \operatorname{Var}(X_1) \end{eqnarray}$ zuordnen, bestimmen Sie die Parameterräume und untersuchen Sie, ob die Verteilungen durch die entsprechende Parametrisierung eindeutig charakterisiert werden. Meine Ideen: Also zu dem statistischen Modell würde ich Folgendes sagen: $\begin{eqnarray} M=\left\{(x_1,x_2,\hdots,x_n):x_i\in\left\{0,1\right\}, i=1,\hdots,n\right\}=\left\{0,1\right\}^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathcal{A}=\mathfrak{P}(M) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathcal{P}=\left\{\otimes_{i=1}^{n}\operatorname{Bin}(1,p):p\in [0,1]\right\} \end{eqnarray}$ Das p ist also der Parameter in diesem Modell. Und nun soll man, wenn ich das korrekt verstehe, einmal p als den Erwartungswert von $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ annehmen und einmal p als die Varianz von $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ annehmen. Nun gilt ja: $\begin{eqnarray} E(X_1)=p \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \operatorname{Var}(X_1)=p(1-p) \end{eqnarray}$ ? Das heißt, daß ei der ersten Parametrisierung $\begin{eqnarray} \theta_1 \end{eqnarray}$ der Parameterraum $\begin{eqnarray} \left\{p: p\in[0,1]\right\} \end{eqnarray}$ ist und bei der zweiten Parametrisierung $\begin{eqnarray} \theta_2 \end{eqnarray}$ der Parameterraum $\begin{eqnarray} \left\{p(1-p): p(1-p)\in[0,1]\right\} \end{eqnarray}$ . Vielleicht schreibt man in beiden Fällen auch einfach nur, daß $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ der Parameterraum ist? Das bedeutet doch aber, daß die beiden Parametrisierungen nicht eindeutig charakterisiert sind, denn jeweils kommen alle möglichen Werte aus dem Intervall $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ für p (Parameter des obigen Modells) in Frage. Stimmt das so? Was mich wundert, ist, daß ja schon bei der Festlegung des Modells feststand, daß $\begin{eqnarray} p\in[0,1] \end{eqnarray}$ . Für die obigen Parametrisierungen habe ich genau das wieder raus. Oder ist das gerade der Witz der Aufgabe: Obwohl man allen $\begin{eqnarray} P\in\mathcal{P} \end{eqnarray}$ denselben (eindeutigen!) Wert als Parameter zuordnet, kommen dabei keine eindeutig charakterisierten Wahrscheinlichkeitsverteilungen heraus, sondern man steht quasi wieder am Anfang, also vor der Parametrisierung, weil jedes einzelne $\begin{eqnarray} P_{\delta} \end{eqnarray}$ wieder einen Parameter hat, der aus [0,1] stammt, ohne näher bekannt zu sein. Man ist also kein Stück weiter.
06.11.2011, 18:00	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Statistisches Modell Hallo, kann mir noch jemand vielleicht helfen?
07.11.2011, 15:58	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso werden meine Statistik-Fragen nicht beantwortet? Habe ich etwas falsch formuliert oder dem falschen Bereich zugeordnet?
14.11.2011, 13:52	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Statistisches Modell Ich habe da ja totalen Blödsinn geschrieben... Das statistische Modell ist $\begin{eqnarray} (\mathcal{M},\mathcal{A},\mathcal{P})=\left(\left\{0,1\right\}^n,\mathfrak{P}\left(\left\{0,1\right\}^n\right),\otimes_{i=1}^{n}\operatorname{Bin}(1,p)\right) \end{eqnarray}$ "Parametrisieren" bedeutet ja in der Statistik so viel wie "Festlegung von $\begin{eqnarray} \mathcal{P} \end{eqnarray}$ bzw. von $\begin{eqnarray} (P_{\theta})_{\theta\in\Theta} \end{eqnarray}$ ." Nun soll man ja einmal allen $\begin{eqnarray} P\in\mathcal{P} \end{eqnarray}$ den Erwartungswert $\begin{eqnarray} E(X_1)=p \end{eqnarray}$ zuordnen. Das verstehe ich so, daß man $\begin{eqnarray} (P_{E(X_1)})_{E(X_1)\in [0,1]} \end{eqnarray}$ betrachten soll. Dadurch sind die $\begin{eqnarray} P\in\mathcal{P} \end{eqnarray}$ aber natürlich eindeutig charakterisiert. Wenn man hingegen jedem $\begin{eqnarray} P\in\mathcal{P} \end{eqnarray}$ die Varianz $\begin{eqnarray} \operatorname{Var}(X_1)=p\cdot (1-p) \end{eqnarray}$ zuordnet, also $\begin{eqnarray} (P_{\operatorname{Var}(X_1)})_{\operatorname{Var}(X_1)\in [0,0.25]} \end{eqnarray}$ betrachtet, so sind die $\begin{eqnarray} P\in\mathcal{P} \end{eqnarray}$ nicht eindeutig charakterisiert, da zum Beispiel $\begin{eqnarray} P_{0.7}=P_{0.3} \end{eqnarray}$ . Ist das so korrekt?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »