Beweis per Induktion

05.11.2011, 15:40

G. Tiger

Beweis per Induktion

Also die Aufgabe lautet:

$\begin{eqnarray*} \forall n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit n>1 :

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{2}<\sum\limits_{k=1}^{2^n-1}\frac{1}{k} <n \end{eqnarray*}$

Der Induktionsanfang für n=2 passt, und auch für n=1, hier geht es aber ja um n>1.

Nun komme ich zum Induktionsschritt:

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{2}<\sum\limits_{k=1}^{2^{n+1}-1}\frac{1}{k} <n+1 \end{eqnarray*}$

Okay sinvoll ist es, an dieser Stelle die Induktion in zwei teile aufzuteilen (eigentlich sollte sich aus dem ersten, das zweite fast wie von selber ergeben (denke ich mal), nur leider bin ich noch nicht so weit gekommen.

Ich nehme also zuerst einmal:

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{2}<\sum\limits_{k=1}^{2^{n+1}-1}\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{2} = \frac{n}{2}+\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Nun benutze ich meine Induktionsvorraussetzung:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2^n-1}\frac{1}{k} +\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

also müsste doch gelten:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2^n-1}\frac{1}{k} +\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2^{n+1}-1}\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

Wenn ich aber den Therm abspalten würde, also :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2^n-1}\frac{1}{k} +\frac{1}{2^{n+1}-1} \end{eqnarray*}$

müsste ich ja zeigen dass,

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} <\frac{1}{2^{n+1}-1} \end{eqnarray*}$

Das kann aber doch garnicht sein.

Sorry, aber ich stehe grade total neben mir. Die Aufgabe kann doch garnicht so schwer sein. Irgendwo habe ich einen denkfehler.
Es wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.

PS: Irgendwie kann ich mich in diesem Forum nicht anmelden unglücklich

05.11.2011, 15:44

G. Tiger

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Beweis per Induktion
Mir fällt grade auf, dass ich den Term durch die Induktionsvorraussetzung ja größer mache.
Darf ich das überhaupt.

Der kann ja größer werden, als er ursprünglich war, und dann stimmt die Aussage natürlich nicht mehr. Aber was sollte ich sonst machen.

Ein Tip wäre mal ganz hilfreich. Oder mach ich grade alles komplett falsch. Irgendwie bin ich grade verwirtt verwirrt

Gestern hat es noch ganz gut mit den Induktionen funktioniert, aber die Aufgabe ist irgendwie komisch.

05.11.2011, 18:52

Löwe xD

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Ich habe die Lösung, sage sie dir aber nicht Augenzwinkern

05.11.2011, 19:55

juffo-wup

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RE: Beweis per Induktion

Zitat:

Original von G. Tiger
also müsste doch gelten:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2^n-1}\frac{1}{k} +\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2^{n+1}-1}\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

Wenn ich aber den Therm abspalten würde, also :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2^n-1}\frac{1}{k} +\frac{1}{2^{n+1}-1} \end{eqnarray*}$

müsste ich ja zeigen dass,

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} <\frac{1}{2^{n+1}-1} \end{eqnarray*}$

Dieser Schritt ist falsch. Es bleibt doch nicht nur 1 Summand übrig bei der Differenz der beiden Summen, sondern alle von $\begin{eqnarray*} k=2^n \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 2^{n+1}-1 \end{eqnarray*}$

05.11.2011, 20:13

G. Tiger

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Zitat:

Welchen schritt meinst du genau, den letzten ?

Das habe ich nur gemacht um zu verdeutlichen das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} <\frac{1}{2^{n+1}-1} \end{eqnarray*}$ , was aber nicht gilt.

Das hier: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2^n-1}\frac{1}{k} +\frac{1}{2^{n+1}-1} \end{eqnarray*}$
war nur die Indexverschiebung von dem hier:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2^{n+1}-1}\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ .

Nur damit wir uns nicht falsch verstehen.

Vielen dank schonmal.

05.11.2011, 21:57

juffo-wup

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Zitat:

Original von G. Tiger
Das hier: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2^n-1}\frac{1}{k} +\frac{1}{2^{n+1}-1} \end{eqnarray*}$
war nur die Indexverschiebung von dem hier:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2^{n+1}-1}\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ .

Das ist aber falsch. Eine Indexverschiebung ist, wenn du über genausoviele Zahlen summierst, nur dass die Menge der Zahlen über die du summierst, nach vorne oder hinten verschoben wurde. Also z.B. $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=\sum_{k=3}^{n+2} \frac{1}{k-2} \end{eqnarray*}$ wäre eine Indexverschiebung. Du hast nur alle Summanden ab dem $\begin{eqnarray*} 2^{n} \end{eqnarray*}$ -ten in der Summe weggestrichen und durch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^{n+1}-1} \end{eqnarray*}$ ersetzt, was nicht das Gleiche ergibt.

05.11.2011, 22:20

Verkasematucker

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Betrachte mal folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac 12<\frac{2^n}{2^{n+1}-1}<\sum_{k=2^n}^{2^{n+1}-1}\frac 1k< 1. \end{eqnarray*}$

06.11.2011, 20:29

G.Tiger

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Ich habe die Aufgabe bereits gelöst, trotzdem danke.

Das mit der Indexverschiebung war natürlich falsch, dass habe ich dann aber hinterher noch bemerkt.

Naja ende gut, alles gut. Eigentlich ist diese Aufgabe verdammt einfach smile

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