Beweis: Konvergenz einer Folge

05.11.2011, 20:46

almin

Beweis: Konvergenz einer Folge

Hallo!

Ich soll zeigen, dass die Folge $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{n} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist.

Ich zeige also, dass $\begin{eqnarray*} |a_n-a|<\epsilon \end{eqnarray*}$ gilt.

$\begin{eqnarray*} |a_n-a|<\epsilon \Leftrightarrow |\frac{1}{n}-0|<\epsilon\Leftrightarrow n>\frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$

Ich frage mich nur wo liegt hier der Beweis? Ich kann doch irgendeinen falschen Grenzwert hernehmen und kann trotzdem auf ein n umformen, aber das sagt mir doch nicht ob die folge gegen den Grenzwert konvergiert...?

Angenommen ich will jetzt zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} =3 \end{eqnarray*}$ ist, was es natürlich nicht ist.

$\begin{eqnarray*} |\frac{1}{n}-3|<\epsilon \Leftrightarrow -(\frac{1}{n}-3)<\epsilon \end{eqnarray*}$ (da 1/n-3 immer negativ ist)
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow -\frac{1}{n}+3<\epsilon \Leftrightarrow -\frac{1}{\epsilon-3}<n \end{eqnarray*}$

Gut aber angenommen $\begin{eqnarray*} \epsilon=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n>-\frac{1}{1-3} \Leftrightarrow n>\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Ich nehme jetzt für $\begin{eqnarray*} n_0=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\frac{1}{1}-3|<1 \Leftrightarrow 2<1 \end{eqnarray*}$

Das stimmt aber nicht...

Wie soll ich dann soetwas Beweisen?

05.11.2011, 22:34

Cel

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RE: Beweis: Konvergenz einer Folge
Hallo,

wir können annehmen, dass $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ sehr klein ist. In dem Fall < 3. Es soll ja für alle Epsilon gezeigt werden. Wenn aber $\begin{eqnarray*} \epsilon < 3 \end{eqnarray*}$ ist, dann dreht sich das Ordnungszeichen hier

Zitat:

Original von almin
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{\epsilon-3}<n \end{eqnarray*}$

um.

Siehst du dann das Problem?

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Beweis: Konvergenz einer Folge

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