supM = supA

05.11.2011, 21:31	studentxy	Auf diesen Beitrag antworten »
supM = supA Meine Frage: Hallo zusammen, ich habe hier zwei Aufgaben bei denen ich verzweifle: Aufgabe 1: Sei $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ eine nicht leere Menge und sei $\begin{eqnarray} M_{i} \end{eqnarray}$ für jedes $\begin{eqnarray} i\in I \end{eqnarray}$ eine nicht leere, nach oben beschränke Teilmenge von $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ . Ferner sei $\begin{eqnarray} M:=\bigcup_{i\in I} M_{i} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A:=\left\{ supM_{i}:i\in I\right\} \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} supM=supA \end{eqnarray}$ . Aufgabe 2: Gibt es eine überabzählbare Menge $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ von Teilmengen von $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ mit der Eigenschaft, dass $\begin{eqnarray} A\cap B \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} A, B\in M \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A\neq B \end{eqnarray}$ endlich ist? Begründen Sie ihre Antwort! Hinweis: Die Primfaktorzerlegung von natürlichen Zahlen kann hilfreich sein. Bei Aufgabe 2 war selbst mein Übungsleiter in der Uni ratlos. Meine Ideen: Bei Aufgabe 1 muss man zeigen doch zeigen: $\begin{eqnarray} supA \end{eqnarray}$ ist obere Schranke von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} supM \end{eqnarray}$ ist obere Schranke von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ . Oder? Ich bitte um Hilfe!
05.11.2011, 23:12	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
zu 2): Betrachte mal die Abbildung $\begin{eqnarray} f:Pot(\mathbb{N})\to Pot(\mathbb{N}) \end{eqnarray}$ bei der $\begin{eqnarray} f(A) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} A\in Pot(\mathbb{N}) \end{eqnarray}$ für jedes Element $\begin{eqnarray} n\in A \end{eqnarray}$ die Zahl $\begin{eqnarray} 2^np_2^{k_1}p_3^{k_2}\cdot\cdot \end{eqnarray}$ enthalten soll, wobei $\begin{eqnarray} k_i=1 \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} i<n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} i\in A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} k_i=0 \end{eqnarray}$ sonst, und sonst keine Elemente. (Wobei $\begin{eqnarray} p_i \end{eqnarray}$ die i-te Primzahl sein soll.) Definiere dann M als das Bild von f.

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