Bild einer Linearen Abbildung

05.11.2011, 21:43

XHotSniperX

Bild einer Linearen Abbildung

Meine Frage:
Es geht um die Aufgabe 3 im Anhang.

Meine Ideen:
Ich komme bei dieser Aufgabe nicht wirklich weiter. Ich weiss, dass das Bild einer Abbildung der von den Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix erzeugter Raum ist. Das heisst, also dass man die Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix auf lineare unabhängigkeit prüfen muss. So weit so gut.

(a) Nur wie kann ich nachrechnen, dass das Bild von L ein linearer Unterraum von W ist?

Meine Idee:
Bild(L)<=W.
Bild(L)=w=L(v)--> A*v=w.
Spaltenvektoren von A erzeugen einen Raum (Das Bild der Abbildung, Bild(L)) und da vielfache der Spaltenvektoren immer noch das gleiche Bild(L) erzeugen [Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation] und da man auch zwei Vektoren aus diesem Raum addieren kann, sodass die Summe immernoch im Bild(L) ist [Abgeschlossenheit bezüglich der Addition], ist das ganze ein Unterraum von W.

bei Aufgabe (c) habe ich die Dimension 3 bekommen. Ich habe die Matrix transponiert und dann Gaussche Elimination durchgeführt. Dann habe ich den Rang 3 bekommen, also keine Nullvektoren, deswegen Dimension 3? Kann das stimmen?

Aufgabe (b): A*v=w also wird ja immer (a11*v1 + a12*v2 + ... + a1n*vn) ... (am1*v1 + ... + amn*vn) gerechnet, also heisst das nichts anderes, als v1 * Erste Spalte der Matrix, .. , vn * Letzte Spalte von der Matrix. Dann wird ja der Raum von vielfachen (v1..vn) der Spaltenvektoren erzeugt oder? Ist das Bild/Raum der Abbildungsmatrix nicht grösser als A*v (für alle v von V)? Verstehe ich das komplett falsch?

Vielen Dank für eure Hilfe!!

05.11.2011, 23:18

Dustin

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Hallo du Scharfschütze,

Du hast die Aufgabe schon gar nicht so schlecht berfasst.

Zitat:

(a) Nur wie kann ich nachrechnen, dass das Bild von L ein linearer Unterraum von W ist? Meine Idee: Bild(L)<=W. Bild(L)=w=L(v)--> A*v=w. Spaltenvektoren von A erzeugen einen Raum (Das Bild der Abbildung, Bild(L)) und da vielfache der Spaltenvektoren immer noch das gleiche Bild(L) erzeugen [Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation] und da man auch zwei Vektoren aus diesem Raum addieren kann, sodass die Summe immernoch im Bild(L) ist [Abgeschlossenheit bezüglich der Addition], ist das ganze ein Unterraum von W.

Genau die richtige Idee. Nur gerechnet ist da noch nicht viel Augenzwinkern

Schreib also das Ganze mathematischer, indem du die beiden Kriterien für einen Unterraum (eben die Abgeschlossenheit zur Addition bzw. Multiplikation) mathematisch hinschreibst und nachweist, dass sie für Bild (L) erfüllt sind.

Zitat:

bei Aufgabe (c) habe ich die Dimension 3 bekommen. Ich habe die Matrix transponiert und dann Gaussche Elimination durchgeführt. Dann habe ich den Rang 3 bekommen, also keine Nullvektoren, deswegen Dimension 3? Kann das stimmen?

Yop

Zitat:

Aufgabe (b): A*v=w also wird ja immer (a11*v1 + a12*v2 + ... + a1n*vn) ... (am1*v1 + ... + amn*vn) gerechnet,

Soweit richtig...

Zitat:

also heisst das nichts anderes, als v1 * Erste Spalte der Matrix, .. , vn * Letzte Spalte von der Matrix.

...aber das stimmt nicht. (a11*v1 + a12*v2 + ... + a1n*vn) bedeutet zum Beispiel erste Zeile der Matrix mal gesamter Vektor v.

Zitat:

Dann wird ja der Raum von vielfachen (v1..vn) der Spaltenvektoren erzeugt oder?

Das wird ertatsächlich, das soll man ja nachweisen, nur Deine Begründung stimmt noch nicht. Möglicherweise meinst Du auch das Richtige und drückst es nur falsch aus?!

Zitat:

Ist das Bild/Raum der Abbildungsmatrix nicht grösser als A*v (für alle v von V)?

Nö. Das Bild von L ist so definiert, wie es auf dem Blatt steht. Setzt du in diese Definition L(v)=Av ein, so steht da
$\begin{eqnarray*} Bild(L):=\left\{ w\in W|\exists v \in V:w=A\cdot v\right\} \end{eqnarray*}$
Also ist das Bild der Matrix (was dasselbe heißt wie das Bild von L) genau das, was du sagst, nicht mehr und nicht weniger.

Viele Grüße, Dustin

06.11.2011, 01:22

XHotSniperX

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danke dir erstmal smile

anders gefragt: ist das Bild der Matrix nicht genau gleich gross, wie der ganze Raum W? Oder sind die Basisvektoren von Bild(L) die gleichen, wie die Basisvektoren von W?
Ich weiss nicht ganz genau was dieses Bild der Matrix/Abbildung sein soll. Wieso kann das Bild kleiner sein als der Vektorraum W?

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Zum anderen:

Wieso stimmt das nicht, mit v1*erste Spalte der Matrix..?
$\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v= \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ | \\ v_n \end{pmatrix} , v_{j} \in \mathbb R^{n} \forall j = 1...n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L(v) = A\cdot v= A\cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ | \\ v_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ | \\ v_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_{11}\cdot v_1 + a_{12}\cdot v_2 + ... + a_{1n}\cdot v_n \\ a_{21}\cdot v_1 + a_{22}\cdot v_2 + ... + a_{2n}\cdot v_n \\ ... \\ a_{m1}\cdot v_1 + a_{m2}\cdot v_2 + ... + a_{mn}\cdot v_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier sieht man doch, dass die erste Spalte der Matrix mit v1 multipliziert wird und ... und die letzte Spalte mit vn... was ich damit also zeigen will, ist dass das gerade das Bild der Matrix ist, weil ja vielfachen der Spaltenvektoren genommen werden. Kann man das so nicht zeigen?

06.11.2011, 09:35

Dustin

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Zitat:

Nein, das Bild ist nicht dasselbe wie der gesamte Raum W. Es gibt hier einen Unterschied zwischen den Begriffen "Bild" = "Wertemenge" und "Bildmenge". Nehmen wir dazu mal ein einfaches Beispiel: die Funktion
$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \to \mathbb R : f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$
Die Bildmenge der Funktion ist die Menge der reellen Zahlen, weil das in der Definition der Funktion steht (R --> R).
Die Wertemenge jedoch ist eine Teilmenge von der Bildmenge und besteht nur aus den reellen Zahlen, die auch tatsächlich Funktionswerte sein können. Da $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ immer positiv oder Null ist, wäre hier die Wertemenge (=das Bild) von f gleich $\begin{eqnarray*} \mathbb R _0^+ \end{eqnarray*}$ .
Genauso ist es hier: Die Bildmenge ist W, weil das in der Definition der Funktion L steht. Die Wertemenge besteht nur aus den Vektoren aus W, die auch tatsächlich Funktionswerte von L sein können, und das sind i.A. nicht alle Vektoren aus W. (hier in Aufgabe c allerdings schon, weil die Spalten der Matrix hier eben den ganzen R³ aufspannen)

Zitat:

um anderen: Wieso stimmt das nicht, mit v1*erste Spalte der Matrix..?
$\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} v= \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ | \\ v_n \end{pmatrix} , v_{j} \in \mathbb R^{n} \forall j = 1...n \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} L(v) = A\cdot v= A\cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ | \\ v_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ | \\ v_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_{11}\cdot v_1 + a_{12}\cdot v_2 + ... + a_{1n}\cdot v_n \\ a_{21}\cdot v_1 + a_{22}\cdot v_2 + ... + a_{2n}\cdot v_n \\ ... \\ a_{m1}\cdot v_1 + a_{m2}\cdot v_2 + ... + a_{mn}\cdot v_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Hier sieht man doch, dass die erste Spalte der Matrix mit v1 multipliziert wird und ... und die letzte Spalte mit vn... was ich damit also zeigen will, ist dass das gerade das Bild der Matrix ist, weil ja vielfachen der Spaltenvektoren genommen werden. Kann man das so nicht zeigen?

Ach so meinst du das! Ja, du hast Recht. Wir haben also als Bildvektor das v_1-fache der ersten Spalte plus das v_2-fache der 2. Spalte usw. OK.
Dafür gibt es auch einen Fachausdruck: Der Bildvektor ist immer eine ??? der Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix. Also spannen diese Spaltenvektoren das Bild von L auf.

06.11.2011, 11:53

XHotSniperX

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Zitat:

Meinst du linearkombination?

06.11.2011, 12:16

XHotSniperX

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Ach soo ist das! das mit dem Bild(L) ist also die Wertemenge der Funktion/Abbilldung und die Bildmenge ist in der Definition von L definiert also R^m.. jep jetzt versteh ich das. Danke

Jetzt muss ich die ganze Aufgabe mal richtig aufschreiben smile

vor allem die Aufgabe a smile

06.11.2011, 14:59

Dustin

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Zitat:

Meinst du linearkombination?

Der Kandidat hat 1000 Punkte! Big Laugh

Zitat:

Ach soo ist das! das mit dem Bild(L) ist also die Wertemenge der Funktion/Abbilldung und die Bildmenge ist in der Definition von L definiert also R^m.. jep jetzt versteh ich das. Danke

büdde

Genau so isses!

Wenn Du magst, kannste ja Deine Lösung dann einscannen und nochjmal posten oder so.

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