Konvergenz eines Produktes

06.01.2007, 11:54

Tutor

Konvergenz eines Produktes

Hallo!

Diese Aufgabe überfordert mich. Ich habe keine Idee, wie ich hier vorgehen könnte:

$\begin{eqnarray*} \pi_{n=0}^\infty ~ \frac{sinh(nx)+1}{e^{nx}} \end{eqnarray*}$

Welchen Trick gibt es hier, die Konvergenz zu beweisen oder gar zu berechnen?

Umschreiben auf die Exponentialform? Aber dann kann ich es auch nicht vereinfachen...

06.01.2007, 12:55

Abakus

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RE: Konvergenz eines Produktes
Was steht denn da, wenn du versuchst, den Ausdruck zu vereinfachen ?

Grüße Abakus smile

06.01.2007, 13:05

Tutor

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Soll ein Test sein? Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \pi_{n=0}^\infty ~\frac{1}{2}e^{-2nx} (e^{2nx}+2e^{nx}-1) \end{eqnarray*}$

06.01.2007, 13:11

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Gibt's Einschränkungen für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , wie z.B. $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ ?

06.01.2007, 13:19

Tutor

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Auf dem Angabezettel steht nichts weiteres.

Aber ich lass mich gerne auf x>0 festlegen...

06.01.2007, 13:23

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RE: Konvergenz eines Produktes
Dann kannst du dir leicht überlegen, dass es für jedes $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0=n_0(x) \end{eqnarray*}$ gibt mit

$\begin{eqnarray*} 0 < \frac{\sinh(nx)+1}{e^{nx}} \leq \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ .

Und was hat das für das Produkt zur Folge?

P.S.: Statt $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ kann man natürlich eine beliebige andere Zahl $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} < C < 1 \end{eqnarray*}$ nehmen... Augenzwinkern

06.01.2007, 13:37

Tutor

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Stichwort geometrische Folge?

$\begin{eqnarray*} \to 0 \end{eqnarray*}$

Für x < 0 wäre es dann divergent

06.01.2007, 13:37

Abakus

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Zitat:

Original von Tutor
Soll ein Test sein? Augenzwinkern

Nein, die Frage ist, wo es feststeckt bzw. wo die Schwierigkeit liegt. Das sehe ich der Aufgabe direkt nicht an.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \prod_{n=0}^\infty ~\frac{1}{2}e^{-2nx} (e^{2nx}+2e^{nx}-1) \end{eqnarray*}$

Den Ausdruck hab ich jetzt auch, bloß viel erkennen lässt sich da nicht (für das Produkt habe ich \prod gesetzt).

Fraglich ist hier, ob die Faktoren abgeschätzt werden können (Arthur hat es bereits gemacht jetzt).

Dabei fällt auf: $\begin{eqnarray*} \frac{\sinh nx }{e^{nx}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot e^{2nx}} \leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Der zweite Summand im Produkt wird beliebig klein. Daraus ergibt sich insgesamt die Abschätzung von Arthur.

Grüße Abakus smile

EDIT: (hier ist natürlich x > 0 angenommen worden)

06.01.2007, 13:53

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Zitat:

Original von Tutor
Für x < 0 wäre es dann divergent

Ist richtig, sollte allerdings noch kurz begründet werden: Für x<0 gilt

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} (\sinh(nx)+1) = -\infty,\qquad \lim\limits_{n\to\infty} e^{-nx} = \infty \end{eqnarray*}$

demnach gilt

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \frac{\sinh(nx)+1}{e^{nx}} = -\infty \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Schreibfehler $\begin{eqnarray*} \sin \end{eqnarray*}$ durch das richtige $\begin{eqnarray*} \sinh \end{eqnarray*}$ ersetzt. Danke an Lazarus für den Hinweis.

06.01.2007, 13:58

Lazarus

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Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von Tutor
Für x < 0 wäre es dann divergent

Ist richtig, sollte allerdings noch kurz begründet werden: Für x<0 gilt

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} (\sin(nx)+1) = -\infty,\qquad \lim\limits_{n\to\infty} e^{-nx} = \infty \end{eqnarray*}$

demnach gilt

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \frac{\sin(nx)+1}{e^{nx}} = -\infty \end{eqnarray*}$ .

Buchstabe vergessen: $\begin{eqnarray*} \sinh \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \sin \end{eqnarray*}$

06.01.2007, 19:30

Abakus

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Jetzt kennen wir die Lösung für x > 0 und x < 0.

Der Fall x = 0 sollte nicht vergessen werden. Mit einem Blick lässt sich sogar der Grenzwert angeben (0 einfach einsetzen).

Grüße Abakus smile

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