Beweis mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes

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HansW Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes
Meine Frage:
Ich muss beweisen, dass

Ich hab einen Tipp dazu bekommen (*):
- Faktoren des Zählern durch n teilen


Meine Ideen:


Anwenden des Binomischen Lehrsatzes:


Ersetzen des Binominalkoeffizienten:


Verwenden des Tipps (*):


An dieser Stelle weiß ich nicht, wie ich mit dem Beweis weiterkomme. Hat jemand eine Idee für mich, das wäre super :-)
Verkasematucker Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes
Es steht doch alles da!
Ich schreibe Deinen Ausdruck nur geringfügig um...

Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Hans W,
du hast es schon fast. Aber die letzte Zeile

Zitat:


ist falsch. Du teilst im Zähler k- mal durch n, im Nenner dagegen nur einmal. Das geht nicht.
Stattdessen: Von der vorletzten Zeile aus
Zitat:

verteilst du die k Faktoren n im Nenner auf die Faktoren im Zähler, also n, (n-1), (n-2) usw.


Ein Wort noch zu deiner grundsätzlichen Beweistechnik: Diese Technik, in der ersten Zeile mit der Behauptung anzufangen und diese dann so lange umzuformen, bis etwas offensichtlich Wahres dasteht, kann verwirrend sein. Schreibe zumindest nach jeder Zeile Äquivalenzpfeile, um klarzustellen, dass sich der komplette Beweis "von unten nach oben" lesen lässt. (Nur Folgepfeile zu machen wäre falsch, weil man ja eigentlich nicht aus der noch ungeprüften Behauptung das offensichtlich Wahre folgern will, sondern umgekehrt).


Viele Grüße, Dustin
Hans" Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes
Hallo ihr beiden, schon mal danke, für eure Bemühungen

Zitat:
Original von Verkasematucker
Es steht doch alles da!
Ich schreibe Deinen Ausdruck nur geringfügig um...



Müsste es nicht

heißen? Ich versteh noch nicht ganz, warum der Ausdruck in den geschweiften kleiner, gleich 1 sein soll?


----------------

Zitat:
Original von Dustin
verteilst du die k Faktoren n im Nenner auf die Faktoren im Zähler, also n, (n-1), (n-2) usw

willst du damit sagen, dass ich im Zähler durch teilen müsste
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Müsste es nicht heißen?

Wieso das? Verstehe nicht, wo bei dir das j im Nenner jetzt herkommt. Möglicherweise siehst du einfach den Wald vor Bäumen nicht. Was Verkasematucker gemacht hat, ist genau das, was ich in Worten formuliert habe: er hat das im Nenner auf die einzelnen Faktoren des Zählers aufgeteilt. Eine ganz simple Umformung, nix zum kompliziert denken. Das ist wie wenn man schreibt

HanW Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Dustin Freude , jetzt hab ich es verstanden.
Was mir noch nicht klar werden will, ist warum dieses Produkt kleiner/gleich 1 ist.
Wenn ich z.B. probeweise für k als obere Grenze 1 einsetze ergibt das ganze n+2. Das ist doch größer als 1 (wenn ich davon ausgehe, dass n eine nat. Zahl ist)
 
 
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Also wir sind jetzt beide bei der richtigen Version?
Zitat:


Jetzt erläutere mir bitte mal Deine Beispielrechnung; ich verstehe nicht, wie du da auf n+2 kommst?!
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

AAAAAAAAAAAAAAAAH doch jetzt versteh ich, wie Du darauf kommst!
Das große Pi ist aber kein Summen-, sondern ein Produktzeichen Big Laugh
HansW Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, ist ja ein Produkt Hammer

Also hier mein korrigiertes Beispiel: j=1 bis eins berechnet:

Für n aus den nat. Zahlen nimmt dann dieses Produkt für k=1 z.B. ja positive Werte an, oder seh ich langsam wirklich den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr?
HansW Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, ich hatte einen Vorzeichenfehler. Ich hab jetzt auch inzwischen begriffen, warum der Ausdruck kleiner/gleich 1 ist. Danke für eure Hilfe! Freude
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Fall gelöst, Sherlock Holmes Augenzwinkern

Nur nochmal zur Kontrolle: Das Produkt ist kleinergleich 1, weil der erste Faktor (j=1) gleich 1 ist und jeder weitere Faktor (j>1) kleiner 1 ist.
HansW Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Frage hab ich dann aber noch. Wenn das Produkt kleiner/gleich 1 ist, gilt dann die Aussagen, dass , also streng kleiner ist???
Dustin B Auf diesen Beitrag antworten »

Gut kombiniert! Das Produkt muss also auch streng kleiner als 1 sein. Warum ist es das?

(ich bin Dustin)
HansW Auf diesen Beitrag antworten »

Das Produkt kann man ja aufspalten:


Die erste geschweite Klammer gilt, da:
für alle .
Somit ist das gesamte erste Produkt kleiner 1.

Also ist alles kleiner 1 (da das zweite Produkt ja =1 ist).

Hab ich das so richtig verstanden?
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Yop Freude
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