Regulären Kettenbruch - rekursve Definition und zwei Beweise

06.11.2011, 10:30

KnowingLizard

Regulären Kettenbruch - rekursve Definition und zwei Beweise

In meiner Aufgabe geht es um einen regulären Kettenbruch der Form

$\begin{eqnarray*} a_0 + \frac{1}{\displaystyle a_1+\frac{1}{\displaystyle a_2+\frac{1}{a_3+\cdots}}} \end{eqnarray*}$
allerdings anders als hier dargestellt bis $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ , d.h. in der Kurzschreibweise:
$\begin{eqnarray*} [a_0;a_1,a_2,\dots,a_n] \end{eqnarray*}$ .
Dabei sei $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ Element der natürlichen Zahlen.

Die drei Aufgabenteile lauten wie folgt:

1) Man soll eine rekursive Definition des Kettenbruchs angeben
2) Man soll folgendes für $\begin{eqnarray*} a_n \not = 1 \end{eqnarray*}$ beweisen:
$\begin{eqnarray*} a_0 < [a_0;a_1,a_2,\dots,a_n] < a_0 +1 \end{eqnarray*}$
3) Für $\begin{eqnarray*} a_n \not =1, b_m \not =1 \end{eqnarray*}$ , soll man für
$\begin{eqnarray*} [a_0;a_1,a_2,\dots,a_n] = [b_0;b_1,b_2,\dots,b_n] \end{eqnarray*}$
beweisen, dass dann gilt:
$\begin{eqnarray*} m = n, a_j = b_j \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j = 0, 1, \dots n \end{eqnarray*}$

_________________________________________________________

Meine (leider recht spärlichen) Ansätze sehen wie folgt aus:

1) Bei der rekursiven Definition bin ich über sowas nicht hinausgekommen:
$\begin{eqnarray*} [a_o;a_1,\dots,a_n]=a_o+\frac{1}{[a_1;a_2,\dots,a_n]} \end{eqnarray*}$
Vielleicht sollte ich noch anmerken, dass in Vorlesung und Skript Kettenbrüche als solche nicht behandelt werden und wurden, lediglich normale Folgen und deren Grenzwerte, daher vielleicht der Aufgabenteil 1 mit Überführung in eine rekursive Definition, allerdings weiß ich nicht so recht, wie ich mit dieser leicht unüblichen rekursiven Definition umgehen soll, bzw. bin mir da ziemlich unsicher.
2) Könnte ich, analog zu einer rekursiven Folge, beweisen, dass der Kettenbruch streng monoton wächst und einen Grenzwert besitzt, der kleiner als a_0 + 1 ist, dann könnte ich diesen Aufgabenteil erledigen, ich weiß nur nicht, wie das mit dieser untypischen rekursiven Definition funktioniert.
3) Fehlt mir noch der Ansatz, auch, wenn natürlich, wie auch bei 2) klar ist, dass es so sein muss, nur fehlt mir hier die Beweistaktik.

06.11.2011, 10:31

FCL

Auf diesen Beitrag antworten »

Prinzipiell gar nicht schlecht.
Bei der rek. Definition musst du aber noch was hinzufügen!

06.11.2011, 14:44

KnowingLizard

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von FCL
Prinzipiell gar nicht schlecht.
Bei der rek. Definition musst du aber noch was hinzufügen!

Was muss ich denn noch hinzufügen? Irgendwie komme ich wirklich nicht drauf.

10.11.2011, 19:58

KnowingLizard

Auf diesen Beitrag antworten »

Wurde mit bei der rekursiven Darstellung
$\begin{eqnarray*} [a_o;a_1,\dots,a_n]=a_o+\frac{1}{[a_1;a_2,\dots,a_n]} \end{eqnarray*}$
fehlend vielleicht der "Startwert" gemeint, d.h.
$\begin{eqnarray*} [a_{0}; a_{1}] = a_{0} + \frac{1}{a_1} \end{eqnarray*}$ , bzw. die generelle Definition der eckigen Klammer:
$\begin{eqnarray*} [a_{k-1}; a_{k}] = a_{k-1} + \frac{1}{a_k} \end{eqnarray*}$

Aber wie verfahre ich da weiter? Kann mir bitte jemand einen zielführenden Hinweis geben? Die Aufgabe ist wirklich enormst ungewohnt für mich und bereitet mir damit ernsthafte Probleme...

12.11.2011, 17:39

KnowingLizard

Auf diesen Beitrag antworten »

Lösungsvorschlag
Aaaalso, nachdem sich keiner erbarmt hat, mir einen kleinen Tipp zu geben, habe ich einfach mal ins Blaue hinein einen Lösungsversuch gestartet, vielleicht will sich den wenigstens mal jemand anschauen smile

:

Zur Erinnerung, die drei Aufgabenteile:

Zitat:

1) Man soll eine rekursive Definition des Kettenbruchs angeben
2) Man soll folgendes für $\begin{eqnarray*} a_n \not = 1 \end{eqnarray*}$ beweisen:
$\begin{eqnarray*} a_0 < [a_0;a_1,a_2,\dots,a_n] < a_0 +1 \end{eqnarray*}$
3) Für $\begin{eqnarray*} a_n \not =1, b_m \not =1 \end{eqnarray*}$ , soll man für
$\begin{eqnarray*} [a_0;a_1,a_2,\dots,a_n] = [b_0;b_1,b_2,\dots,b_n] \end{eqnarray*}$
beweisen, dass dann gilt:
$\begin{eqnarray*} m = n, a_j = b_j \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j = 0, 1, \dots n \end{eqnarray*}$

Zu Aufgabenteil 1, der rekursiven Definition:
$\begin{eqnarray*} [a_o;a_1,\dots,a_n]=a_o+\frac{1}{[a_1;a_2,\dots,a_n]} \end{eqnarray*}$
mit Startwert:
$\begin{eqnarray*} [a_{n-1}; a_{n}] = a_{n-1} + \frac{1}{a_n} \end{eqnarray*}$

Zu Aufgabenteil 2, dem (ersten) Beweis:
$\begin{eqnarray*} a_0 < [a_0;a_1,a_2,\dots,a_n] < a_0 +1 \end{eqnarray*}$
<=> $\begin{eqnarray*} 0 < \frac{1}{[a_1;a_2,\dots,a_n]} < 1 \end{eqnarray*}$
_____
Es müssen nun also zwei Ungleichungen gezeigt werden, die linke sei (1), die rechte sei (2).
_
Beweis (1): Gilt offensichtlicherweise, da $\begin{eqnarray*} a_k \in N \end{eqnarray*}$ , wodurch der Bruch nicht negativ werden kann. (Reicht das so? Oder kann man das wirklich gut zeigen?)
_
Beweis (2):
Insgesamt zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{[a_1;a_2,\dots,a_n]} < 1 \end{eqnarray*}$

Zeige mit vollständiger Induktion über k:
Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{[a_{k-1};a_{k},\dots,a_n]} < 1 \end{eqnarray*}$ für alle k<=n, k aus den natürlichen Zahlen.

Induktionsanfang: Sei k = n, dann gilt:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{[a_{k-1};a_{k}]}=\frac{1}{a_{n-1}+\frac{1}{a_{n}}}<1 <br /> da <br /> a_k \in N <br /> d.h.<br /> a_{n-1}+\frac{1}{a_{n}}>1 \end{eqnarray*}$

=> Induktionsannahme: Es existiert ein beliebiges, aber festes, k <= n aus den natürlichen Zahlen, so dass gilt:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{[a_{k-1};a_{k},\dots,a_n]} < 1 \end{eqnarray*}$ (a)

Induktionsschritt: Dann gilt für k - 1:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{[a_{k-2};a_{k-1},\dots,a_n]} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{a_{k-2}+\frac{1}{[a_{k-1};a_{k},\dots,a_n]}} \end{eqnarray*}$ nun mit (a):
$\begin{eqnarray*} <\frac{1}{a_{k-2}+1}<1 \end{eqnarray*}$
da $\begin{eqnarray*} a_{k-2}>0 \end{eqnarray*}$

D.h. insgesamt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{[a_{k-1};a_{k},\dots,a_n]} < 1 \end{eqnarray*}$ gilt für alle k<=n, also auch für k=2
=> $\begin{eqnarray*} \frac{1}{[a_1;a_2\dots a_n]}<1 \end{eqnarray*}$

Geht das so? Wenn ja, warum habe ich dann die in der Aufgabenstellung genannte Bedingung, dass a_n /= 1 sein muss, nicht benötigt?

Neue Frage »

Antworten »

Regulären Kettenbruch - rekursve Definition und zwei Beweise

Verwandte Themen