Volumen bestimmen

06.11.2011, 12:05

ChronoTrigger

Volumen bestimmen

Hallo,

ich möchte folgende Aufgabe lösen:

Zitat:

Es sei $\begin{eqnarray*} G:=\{(x,y,z) \in \mathbb R^3 | x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0, x+y \geq 2, y \leq 2(1-\frac{x^2}{9}), z \leq x+y+1 \} \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie das Volumen von G.

Mir ist noch nicht klar, wie ich meine Integrationsgrenzen wählen muss.

Deshalb versuche ich das mal:

$\begin{eqnarray*} y \leq 2(1- \frac{x^2}{9}) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow y \leq 2 - \frac{2x^2}{9} \Leftrightarrow y-2 \leq -\frac{2x^2}{9} \Leftrightarrow 2-y \geq \frac{2x^2}{9} \end{eqnarray*}$

Eingesetzt in die erste Bedingung:

$\begin{eqnarray*} x+y \geq 2 \Leftrightarrow x \geq 2-y \implies x \geq \frac{2x^2}{9} \Leftrightarrow 9x \geq 2x^2 \end{eqnarray*}$
Falls $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, erhalte ich dann $\begin{eqnarray*} x \leq \frac92 \end{eqnarray*}$ .

Falls $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ gilt, erhalte ich aus den Bedingungen $\begin{eqnarray*} x+y \geq 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \leq 2 \end{eqnarray*}$ ja gerade, dass $\begin{eqnarray*} y=2 \end{eqnarray*}$ ist und somit $\begin{eqnarray*} z \leq 3 \end{eqnarray*}$ gilt.

Ich sehe allerdings momentan noch nicht, wie mich das weiterbringt.

Kann mir jemand weiterhelfen?

danke schonmal im voraus.

07.11.2011, 18:36

ChronoTrigger

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hat vielleicht noch jemand eine Idee?

ich bin bei dieser Aufgabe bisher noch nicht weiter gekommen.

07.11.2011, 19:29

Leopold

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Ich glaube, mit solchen Einsetzungen und Abschätzungen kommst du nicht weit. Versuche dir, diesen Körper vorzustellen. Zunächst wird man zwar von den ganzen Bedingungen erschlagen. Wenn man sie sich genauer vor Augen hält, ist es aber auf einmal nicht mehr so schlimm.

Zunächst einmal spielt sich alles im I. Oktanten ab: $\begin{eqnarray*} x \geq 0, \ y \geq 0, \ z \geq 0 \end{eqnarray*}$

Dann gibt es Bedingungen, die nur $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ betreffen. Wir betrachten den Bereich

$\begin{eqnarray*} B = \left\{ \, (x,y) \in \mathbb{R}^2 \, \left| \, x \geq 0, \, y \geq 0, \, x+y \geq 2, \, y \leq 2 \left( 1 - \frac{x^2}{9} \right) \right. \right\} \end{eqnarray*}$

der $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ -Ebene (die dritte Koordinate $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ habe ich weggelassen). Den kannst du konkret in einem zweidimensionalen Koordinatensystem einzeichnen. Es ist eine Art Viereck, bei dem eine Seite ein Parabelbogen ist.
Wenn jetzt die Bedingung an $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ so lauten würde: $\begin{eqnarray*} 0 \leq z \leq 23 \end{eqnarray*}$ , dann wäre der Körper ein Zylinder der Höhe $\begin{eqnarray*} 23 \end{eqnarray*}$ mit dem Viereck als Grundfläche. Weil sie aber nun

$\begin{eqnarray*} 0 \leq z \leq x+y+1 \end{eqnarray*}$

heißt, wird der Körper oben durch eine schräge Ebene, nämlich die mit der Gleichung $\begin{eqnarray*} z = x+y+1 \end{eqnarray*}$ , abgeschlossen. Letztlich ist also das Volumen $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ unter dem Graphen der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} z = f(x,y) = x+y+1 \end{eqnarray*}$

über dem Bereich $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, also

$\begin{eqnarray*} V = \int_B f(x,y)~\dd (x,y) \end{eqnarray*}$

08.11.2011, 07:58

ChronoTrigger

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danke für die tolle Erklärung, Leopold, jetzt ist mir das schon etwas klarer geworden.

Ich habe nun den Bereich $\begin{eqnarray*} B = \left\{ \, (x,y) \in \mathbb{R}^2 \, \left| \, x \geq 0, \, y \geq 0, \, x+y \geq 2, \, y \leq 2 \left( 1 - \frac{x^2}{9} \right) \right. \right\} \end{eqnarray*}$ gezeichnet und erkenne auch das von dir angesprochene Viereck, mit dem Parabelbogen.

Jetzt geht es also nur noch darum, die passenden Grenzen zu finden.

Für y sollte das klar sein: $\begin{eqnarray*} 0 \leq y \leq 2(1-\frac{x^2}{9}) \end{eqnarray*}$

Bei x bin ich mir jetzt unsicher. Aus meiner 2-dimensionalen Zeichnung kann ich schließen, dass $\begin{eqnarray*} 0 \leq x \leq 3 \end{eqnarray*}$ gilt, und ich würde das so begründen:

Wegen dem angesprochenen Parabelbogen muss ich $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ betrachten, und dann folgt $\begin{eqnarray*} 0 \leq 2- \frac{2x^2}{9} \Leftrightarrow 2x^2 \leq 18 \Leftrightarrow x^2 \leq 9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \implies x \leq 3 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ gelten muss.

Wären das die richtigen Grenzen?

08.11.2011, 09:02

Leopold

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Ich hatte da wohl in der Eile etwas falsch gezeichnet. Jetzt würde ich lieber von einem Dreieck mit Parabelbogen als von einem Viereck sprechen.

Du mußt die Grenzen in Abhängigkeit voneinander betrachten.
Wenn du zunächst über $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ integrierst (äußeres Integral), dann ist der Integrationsbereich das Intervall von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ . Denn nur über diesem Intervall liegen Punkte von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ . Das hast du richtig erkannt.

Jetzt denke dir ein solches $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ konkret gewählt und schneide senkrecht zur $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse bei diesem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ eine Strecke aus $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ aus. Die $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Werte "von-bis" dieser Strecke geben dir die Grenzen für die Integration über $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ (inneres Integral). Die Grenzen sind aber andere, je nachdem, welches $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ du gerade konkret gewählt hast. Formal läuft die Integration so ab:

$\begin{eqnarray*} V = \int_B f(x,y)~\dd (x,y) = \int \limits_0^3 \left( \, \int \limits_{a(x)}^{b(x)} f(x,y) ~ \dd y \right) ~ \dd x \end{eqnarray*}$

Und mit $\begin{eqnarray*} a(x),b(x) \end{eqnarray*}$ sind die $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Grenzen in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gemeint. Für $\begin{eqnarray*} b(x) \end{eqnarray*}$ kann man eine einheitliche Formel finden, die für das ganze Intervall $\begin{eqnarray*} [0,3] \end{eqnarray*}$ gilt. Dagegen macht $\begin{eqnarray*} a(x) \end{eqnarray*}$ Schwierigkeiten. Du mußt dir daher mit einer Fallunterscheidung behelfen. Wenn du alles richtig gemacht hast, wirst du feststellen, daß sich die Situation bei $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ ändert. Also nimmt man die folgende Zerlegung vor:

[ $\begin{eqnarray*} 0,3] = [0,2] \cup [2,3] \end{eqnarray*}$

Und so geht das Ganze dann weiter:

$\begin{eqnarray*} V = \int \limits_0^2 \left( \, \int \limits_{a_1(x)}^{b(x)} f(x,y) ~ \dd y \right) ~ \dd x \ + \ \int \limits_2^3 \left( \, \int \limits_{a_2(x)}^{b(x)} f(x,y) ~ \dd y \right) ~ \dd x \end{eqnarray*}$

Wenn du übrigens die Sache anders herum aufziehst, als zunächst außen über $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und dann innen über $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ integrierst, brauchst du keine Fallunterscheidung durchzuführen. Allerdings wird die Rechnung wegen der dann auftretenden Wurzelausdrücke auch nicht einfacher.

08.11.2011, 10:18

ChronoTrigger

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danke.

Es müsste doch dann $\begin{eqnarray*} b(x)=2(1-\frac{x^2}{9}) \end{eqnarray*}$ sein.

Bei der unteren Grenze verstehe ich allerdings etwas noch nicht:

Wenn $\begin{eqnarray*} x \in [0,2] \end{eqnarray*}$ ist, ist durch die Bedingung $\begin{eqnarray*} x+y \geq 2 \end{eqnarray*}$ schon geregelt, dass y den Wert 0 annehmen kann, bzw. jeden größeren Wert.

Wenn $\begin{eqnarray*} x \in [2,3] \end{eqnarray*}$ gilt, ist das kleinste y, das immer noch die Bedingung $\begin{eqnarray*} x+y \geq 2 \end{eqnarray*}$ erfüllt, ja gerade $\begin{eqnarray*} y=-1 \end{eqnarray*}$ , nämlich dann, wenn $\begin{eqnarray*} x=3 \end{eqnarray*}$ gilt.
Allerdings haben wir doch noch eine weitere Bedingung, nämlich $\begin{eqnarray*} y \geq 0 \end{eqnarray*}$ , dadurch kann dieser Fall doch gar nicht eintreten, oder?

Das würde aber doch bedeuten, dass in beiden Fällen die untere Grenze für y gerade 0 ist.

09.11.2011, 07:37

Leopold

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Die obere Grenze ist richtig. Was du aber bezüglich der unteren Grenze sagst, verstehe ich nicht. Vielleicht beschreibst du einfach einmal das Aussehen des "Dreiecks" $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ in Worten, damit ich weiß, ob wir überhaupt von derselben Figur reden.

09.11.2011, 19:02

ChronoTrigger

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sorry für die späte Antwort, ich hatte heute leider keine Gelegenheit, früher reinzuschauen.

Ich stelle mir dieses "Dreieck" $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ so vor:

Die drei Eckpunkte liegen bei $\begin{eqnarray*} (0,2) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (2,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (3,0) \end{eqnarray*}$ .

Zwischen den Punkten $\begin{eqnarray*} (0,2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (3,0) \end{eqnarray*}$ besteht dann eine Verbindung durch das "Parabelstück".

Ich habe es mir nun auch bei WolframAlpha zeichnen lassen (hier Dort sieht diese Figur ähnlich aus.

Was ich bezüglich der unteren Grenze meinte war folgendes:

Ich hatte versucht herauszufinden, welchen Wert y minimal annehmen kann, sodass noch alle Bedingungen, die an y geknüpft sind, noch erfüllt sind. Allerdings lautet ja eine dieser Bedingungen, dass $\begin{eqnarray*} y \geq 0 \end{eqnarray*}$ gilt, weshalb ich noch ein Problem habe, dort eine andere untere Grenze als die 0 zu finden.

09.11.2011, 19:46

Leopold

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Die Zeichnung stimmt. Aber du solltest so etwas natürlich auch ohne Wolfram zeichnen können.

Jetzt denken wir uns ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zwischen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ . Machen wir es ganz konkret: $\begin{eqnarray*} x = \frac{9}{4} \end{eqnarray*}$ . Bei diesem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ machst du jetzt einen vertikalen Schnitt durch das Dreieck $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ . Die Schnittstrecke besteht aus Punkten. Und um deren $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Werte geht es. Zwischen welchen Werten liegen die $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Werte? Der untere Wert ist $\begin{eqnarray*} a \left( \frac{9}{4} \right) \end{eqnarray*}$ , der obere $\begin{eqnarray*} b \left( \frac{9}{4} \right) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt nehmen wir ein anderes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , konkret $\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ . Wieder machst du bei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ einen vertikalen Schnitt durch $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ . Zwischen welchen Zahlen liegen jetzt die $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Werte? Der untere Wert ist $\begin{eqnarray*} a \left( \frac{1}{4} \right) \end{eqnarray*}$ , der obere $\begin{eqnarray*} b \left( \frac{1}{4} \right) \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt mußt du eben $\begin{eqnarray*} a(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b(x) \end{eqnarray*}$ allgemein bestimmen. Und du wirst schnell sehen, daß du eine Fallunterscheidung brauchst, wie ich es in meinem vorletzten Beitrag beschrieben habe:

$\begin{eqnarray*} a(x) = \begin{cases} a_1(x), & 0 \leq x \leq 2 \\ a_2(x), & 2 \leq x \leq 3 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Die $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ kannst du bei beiden Fällen unterbringen, da dort beide Formeln dasselbe liefern.

09.11.2011, 20:11

ChronoTrigger

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Ich glaube, jetzt ist der Groschen gefallen.

für $\begin{eqnarray*} x= \frac94 \end{eqnarray*}$ erhalte ich $\begin{eqnarray*} -\frac14 \leq y \leq \frac78 \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} x=\frac14 \end{eqnarray*}$ erhalte ich $\begin{eqnarray*} \frac74 \leq y \leq \frac{143}{72} \end{eqnarray*}$

im ersten Fall ist die untere Grenze für y kleiner als 0, was allerdings nach der Bedingung $\begin{eqnarray*} y \geq 0 \end{eqnarray*}$ in B nicht sein kann. Dass heißt, alle y zwischen $\begin{eqnarray*} -\frac14 \end{eqnarray*}$ und 0 liegen also gar nicht in $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ . In diesem Fall ist also die untere Grenze 0. Das ist also der Fall, in dem $\begin{eqnarray*} 2 \leq x \leq 3 \end{eqnarray*}$ gilt.

Im anderen Fall ist die Grenze positiv, d.h. wenn ich hier als untere Grenze 0 wählen würde, würde ich über einen größeren Bereich integrieren, was demnach falsch ist. die untere Grenze hängt hierbei natürlich auch von x ab, d.h. die untere Grenze ist hierbei $\begin{eqnarray*} 2-x \end{eqnarray*}$ .

Insgesamt erhalte ich also für $\begin{eqnarray*} a(x) \end{eqnarray*}$ folgendes:

$\begin{eqnarray*} a(x) = \begin{cases} 2-x ,& 0 \leq x \leq 2 \\ 0, & 2 \leq x \leq 3 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Das bedeutet, ich muss das folgende Integral berechnen:

$\begin{eqnarray*} V = \int \limits_0^2 \left( \, \int \limits_{2-x}^{2(1-\frac{x^2}{9})} x+y+1 ~ \dd y \right) ~ \dd x \ + \ \int \limits_2^3 \left( \, \int \limits_{0}^{2(1-\frac{x^2}{9})} x+y+1 ~ \dd y \right) ~ \dd x \end{eqnarray*}$

09.11.2011, 20:18

Leopold

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Am Anfang sprichst du von $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{4} \leq y \leq \ldots \end{eqnarray*}$ , später korrigierst du das zu $\begin{eqnarray*} 0 \leq y \leq \ldots \end{eqnarray*}$ . Warum machst du das nicht gleich richtig? verwirrt

Schließlich kann man der Zeichnung doch unmittelbar entnehmen, daß die untere Grenze für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ im hinteren Bereich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist. Was gibt es da zu rechnen?

Ansonsten stimmt jetzt der Integralterm. Und wenn du um den Integranden noch, wie es sich gehört, eine Klammer machst, dann ist es nicht nur mit Abstrichen richtig, sondern ganz.

09.11.2011, 21:02

ChronoTrigger

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danke, da stand ich wohl etwas auf der Leitung...

Ich habe nun, nach einer etwas längeren Rechnung, das Ergebnis $\begin{eqnarray*} V=\frac{211}{30} \end{eqnarray*}$ erhalten.

Ich bin mir noch unsicher, ob dieses Ergebnis stimmt oder nicht, aber ich werde es morgen definitiv noch einmal auf Rechenfehler überprüfen.

Dennoch ist mir die Vorgehensweise nun deutlich klarer geworden, und dafür möchte ich mich bei dir, Leopold, noch einmal bedanken, und ich hoffe, ich habe deine Geduld nicht überstrapaziert. smile

Zum anderen thread werde ich vielleicht noch nachher, ansonsten aufjedenfall morgen noch etwas posten.

09.11.2011, 21:08

Leopold

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Mein CAS liefert dasselbe.

09.11.2011, 21:09

ChronoTrigger

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alles klar, dann sollte diese Aufgabe gelöst sein smile

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