Induktionsbeweis einer Ungleichung

06.11.2011, 14:22

Pfirsichtee

Induktionsbeweis einer Ungleichung

Hallo, ich könnte ein wenig Hilfe bei folgender Aufgabe gebrauchen:

Zeigen Sie für n aus den natürlichen Zahlen mit n > 1 :

$\begin{eqnarray*} \frac{4^n}{n+1} < \frac{(2n)!}{(n!)^2} \end{eqnarray*}$

Also der Induktionsanfang mit n = 2 is ok. Nun also der IS :

Es ist zu zeigen :

$\begin{eqnarray*} \frac{4^{n+1}}{n+2} < \frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{4 \cdot 4^n}{n+2} < \frac{(2n)! \cdot (2n+1) \cdot (2n+2)}{(n! \cdot (n+1))^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4 \cdot \frac{ 4^n}{n+2} < \frac{(2n)! \cdot (2n+1) \cdot (2n+2)}{(n!)^2 + 2(n!)(n+1) +(n+1)^2} \end{eqnarray*}$

Ab dieser Stelle bin ich mit meinem Umforumungsregeln am Ende. Was kann man noch machen? Vor allem stört mich natürlich links im Nenner diese n+2. Ich denke nicht, dass ich da n+1 leicht hinkriege oder? Somit fällt es mir schwer irgendwann meine Induktionsvorraussetzung anweden zu können. unglücklich

06.11.2011, 14:37

Zitronentee

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Hm, wenn du z.B. mit $\begin{eqnarray*} \frac{n}{2} \end{eqnarray*}$ mutliplizierst, kannst du n+1 schreiben. So habe ich es gemacht.

Bringt einen aber auch nicht weiter. Big Laugh

Vielleicht hast du ja noch Ideen

06.11.2011, 14:39

Pfirsichtee

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Dann müsste ich das ja auch auf der rechten Seite machen und die ist ja jetzt schon komplex genug. ^^ Naja mal schauen danke.

06.11.2011, 14:40

Zitronentee

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Hast du den alle anderen Aufgaben schon fertig ?

Ich habe bislang nur die 3) geschafft. Die fand ich am leichtesten.

06.11.2011, 14:43

Pfirsichtee

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Hab bisher 4c) und Aufgabe 2.

Für mich waren diese beiden die Einfachsten, denn bei 1c) hab ich zwei Zeilen gebraucht und bei Aufgabe 2 habe ich 3 oder wenn ichs schön schreibe 4 gebraucht. ^^

06.11.2011, 14:44

Zitronentee

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Das muss man nicht zwingend machen. Immerhin reden wir hier nicht davon eine Gleichung aufzulösen.

Und nur weil man, z.B. auf einer zeite etwas ausklammert muss man es nicht auch bei der anderen machen.

Außerdem schreibt man bei Induktionen meistens von einer Seite zur anderen. Und nicht immer diese Äuqivalenzen.

Tja, Induktionen sind wie ich finde ziemlich ungewohnt, da man dort auch viel abschätzen muss, und das ist man nicht gewohnt.

mfg. Zitronentee

06.11.2011, 14:46

Pfirsichtee

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Alaso hier müsstest du es definiitiv machen, denn wenn du eine Seite mit etwas multiplizierst musst du DEFINITIV die andere ebenfalls damit multiplizieren. Denn ansonsten kann es dir passieren, dass die Ungleichung nicht mehr für bestimmte n stimmt...
Du multiplizierst ja die Ungleichung mit etwas. Wenn du etwas ausklammerst tust du dies nur mit einem bestimmten Term. Genauso wie wenn du etwas erweiterst etc. Aber wenn du multiplizierst, dann schon richtig. ^^

ps: Ich sehe auch nicht, wie du da auf n+1 im Nenner kommen willst. verwirrt

06.11.2011, 14:48

Zitronentee

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Nein, denn der Term bleibt der selbe. Das n kürzt sich ja wieder weg, und ausmultiplieziert hast du wieder n+2.

Also kann man das so machen, denke ich smile

06.11.2011, 14:49

Pfirsichtee

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Was willst du nun tuhen? Mit n/2 mutliplizieren oder willst du den Bruch erweitern oder was machst du? Wenn du ihn erweiterst hast du Recht, wenn du aber eine Seite der Gleichung /Ungleichung oder sonst was mit einem Term multiplizierst dan auch beide. verwirrt

Und ich sehe auch immer noch nicht, wie da n+1 im Nenner entstehen soll.

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{2} \cdot \frac{1}{n+2} = \frac{n}{2n+4} \end{eqnarray*}$

Und hier gibts nix zu kürzen verwirrt

06.11.2011, 14:52

Zitronentee

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$\begin{eqnarray*} \frac{4 \cdot 4^n}{n+2} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} 4 \cdot\frac{4^n}{n+2} \cdot\frac{n}{2} \end{eqnarray*}$

So hatte ich mir das gedacht.

06.11.2011, 14:55

Zitronentee

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Naja aber das haut irgendwie auch nicht hin.

Ich hatte da irgendwie soetwas. Das passte aber auch nicht wie gesagt.

Ich habe jetz einen noch komplizierteren lösungsweg, der auch hinhaut. Ich glaube aber nicht das der stimmt

06.11.2011, 14:58

Zitronentee

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Ich bin mal ebend essen, danach geb ich dir mal eine Lösung die auf jedenfall stimmt.

Aber ich kann die nicht ´nachvollziehen. Du aber vielleicht.

bg. Big Laugh

06.11.2011, 14:59

Pfirsichtee

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In Ordnung. ^^

06.11.2011, 15:20

Zitronentee

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$\begin{eqnarray*} \frac{4^n}{n+1} < \frac{(2n)!}{(n!)^2} \end{eqnarray*}$

Ich schreibe nur den Induktionsschluß hier hin:

$\begin{eqnarray*} \frac{4^n}{n+2} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{4 \cdot 4^n}{n+2} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{4^n}{n+2} \cdot2 \cdot\frac{2(n+1)}{n+2} \end{eqnarray*}$

< $\begin{eqnarray*} \frac{4^n}{n+2} \cdot2 \cdot\frac{2n+1}{n+1} \end{eqnarray*}$

< $\begin{eqnarray*} \frac{(2n)!}{(n!)^2} \cdot2 \cdot\frac{2n+1}{n+1}\cdot\frac{2n{^2}+2n+n+1}{n+1} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^2} \end{eqnarray*}$

Tja, und damit ist man fertig.

Verstehst du das ?

06.11.2011, 15:22

Zitronentee

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$\begin{eqnarray*} \frac{4^n}{n+2} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{4 \cdot 4^n}{n+2} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{4^n}{n+1} \cdot2 \cdot\frac{2(n+1)}{n+2} \end{eqnarray*}$

< $\begin{eqnarray*} \frac{4^n}{n+1} \cdot2 \cdot\frac{2n+1}{n+1} \end{eqnarray*}$

< $\begin{eqnarray*} \frac{(2n)!}{(n!)^2} \cdot2 \cdot\frac{2n+1}{n+1}\cdot\frac{2n{^2}+2n+n+1}{n+1} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^2} \end{eqnarray*}$

Sorry, da war ein fehler drin.
Hier die korrigierte version.

Viel spaß, beim nachvollziehen Augenzwinkern

Deine erkenntnisse kannst du ja mal hier posten.

06.11.2011, 15:25

Pfirsichtee

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An welcher Stelle hast du den ein Verständnisproblem?

Ich wäre ja nie darauf gekommen die 4 so darzustellen. Big Laugh

06.11.2011, 15:31

Zitronentee

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Wie hast du denn die 1c) gelöst ?

Ich habe die auch fertig, allerdings bin ich mir unsicher ob ich das einfach so machen darf, die sieht einfach zu einfach aus Big Laugh

Ich hatte, einfach die

Aufgabe für andere Foren leser:

$\begin{eqnarray*} n!\leq n^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n+1)! \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (n+1)\cdot n! \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (n+1)\cdot n^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = n^{n+1}\cdot n^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <{(n+1)}^{n+1} \end{eqnarray*}$

Hast du das genauso ?

06.11.2011, 15:33

Zitronentee

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Naja, das sind wengier verständnis Probleme, als einfach immer zu sagen, das ist kleiner usw.

Das finde ich ein wenig....naja. Big Laugh

06.11.2011, 15:35

Zitronentee

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Und den teil verstehe ich auch nicht wirklich

< $\begin{eqnarray*} \frac{(2n)!}{(n!)^2} \cdot2 \cdot\frac{2n+1}{n+1}\cdot\frac{2n{^2}+2n+n+1}{n+1} \end{eqnarray*}$

Wo kommt der rest her ?

06.11.2011, 15:39

Pfirsichtee

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Die Version zu vorherrigen Aufgabe ist denke ich nicht komplett richtig. Zum Beispiel gilt in Zeile 3 nicht das Gleichheitszeichen vorne.

Und zu c) :

Auch da musst du mit den Gleichtszeichen ein wenig aufpassen, da haben sich einige Fehler eingeschlichen.

Du musst ja im IS zeigen :

$\begin{eqnarray*} (n+1)! \leq (n+1)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Du hast richtig ausgeführt, dass (n+1)! = n! * (n+1) ist. Mit der rechten Seite kann man etwas ganz Ähnliches machen, und dann ist man dank Induktionsvorraussetzung schon fast fertig. Wie kriegt man wohl auf der rechten Seite den letzten Term? ^^

ps : Ich will mich mit b) erst nochmal beschäftigen und sag dir gleich dann bescheid.

06.11.2011, 15:45

Zitroneistee

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Rechteseite: $\begin{eqnarray*} (n+1)^{n+1} \end{eqnarray*}$

naja die kann ich zu $\begin{eqnarray*} (n+1)^{n}\cdot(n+1) \end{eqnarray*}$

mehr geht da aber auch nicht wirklich Big Laugh

06.11.2011, 15:48

Pfirsichtee

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Du bist ja auch schon fast fertig.

Wie verhält sich den n! zu n^n und wie verhält sich n^n zu (n+1)^n ?

06.11.2011, 15:50

Zitroneistee

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Naja, es gilt
$\begin{eqnarray*} n!\leq n^{n} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} n^n \leq (n+1)^n \end{eqnarray*}$

06.11.2011, 15:52

Pfirsichtee

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Also? Jetzt kommt sowas wie Transitivität ^^

06.11.2011, 15:54

Zitroneistee

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Ist auch

$\begin{eqnarray*} n!\leq (n+1)^n \end{eqnarray*}$

06.11.2011, 15:57

Zitroneistee

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Somit ist auch

$\begin{eqnarray*} (n+1)! \leq (n+1)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Hast du das so nochmal aufgeschrieben ?

06.11.2011, 15:58

Pfirsichtee

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Richtig, und damit ist der Beweis zu Ende, da ja auf beiden Seiten gleichermaßen mit (n+1) multipliziert wird. Noch Fragen zu dieser Aufgabe?

06.11.2011, 15:59

Zitroneistee

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nö eigentlich nicht.

Vielen dank :-)

06.11.2011, 16:10

Pfirsichtee

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Yeah ich hab den Beweis nun auch geschafft. Der von dir gezeigte Beweis ist glaube ich nicht ganz richtig. Aber ich konnte ihn berichtigen. Nun gehe ich aber mal essen xD

Ich stelle es dir dann in ner halben Stunde oder dreiviertel Stunde hoch. ^^

06.11.2011, 16:11

Zitroneneistee

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Okay vielen dank :-)

06.11.2011, 17:09

Pfirsichtee

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$\begin{eqnarray*} \frac{4^{n+1}}{n+2} = \frac{ 4 \cdot 4^n}{n+2} \end{eqnarray*}$

Nun schreibe ich dir 4 einfach um in Folgendes : $\begin{eqnarray*} 4 = 2 \cdot \frac{2(n+1)}{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{4^n}{n+2} \cdot 2 \cdot \frac{2(n+1)}{n+1} \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun den linken Term im Nenner um 1 weniger mache, also zu n+1 , so wird der Gesamtausdruck größer. Also steht dann da

$\begin{eqnarray*} \frac{4^n}{n+2} \cdot 2 \cdot \frac{2(n+1)}{n+1} < \frac{4^n}{n+1} \cdot 2 \cdot \frac{2(n+1)}{n+1} \end{eqnarray*}$

Nun wende ich meine IV an, dass der linke Term ja kleiner sein soll, als (2n!)! / (n!)^2. Ersetze ich dies also nun, so mache ich den Ausdruck nochmal größer. Also steht dann da

$\begin{eqnarray*} \frac{4^n}{n+1} \cdot 2 \cdot \frac{2(n+1)}{n+1} < \frac{(2n)!}{(n!)^2} \cdot 2 \cdot \frac{2(n+1)}{n+1} \end{eqnarray*}$

Nun muss ich also überlegen, wie ich den letzten Schritt hinbekomme. Dazu multipliziere ich nun einfach einen Term hinten dran, der größer oder gleich 1 ist. Denn somit mache ich das ganze schon wieder größer. Du siehst, dass man unten (n+1)!^2 haben will, und (n!)^2 haben wir schon. Was fehlt also? Es fehlt noch 2 mal ( (n+1). Und einmal haben wir dies ja schon, uns fehlt also noch ein zweiter, was ich jetzt beschrieben habe, sieht wie folgt aus: ( Beachte erstmal nur den Nenner !!! )

$\begin{eqnarray*} \frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^2} = \frac{(2n)!}{(n!)^2} \cdot 2 \cdot \frac{2(n+1)}{n+1} \cdot \frac{???}{n+1} = \frac{(2n)! \cdot 2 \cdot 2(n+1) \cdot ???}{(n!)^2 \cdot (n+1) \cdot (n+1)} = \frac{(2n)! \cdot 2 \cdot 2(n+1) \cdot ???}{((n+1)!)^2} \end{eqnarray*}$

So wie du siehst, haben wir im Nenner das Gewünschte erreicht. Nun fehlt uns also nur noch ein geeigneter Term für die ???, so dass wir auch im Zähler unser Ziel erreichen.

Was uns also fehlt, ist :
$\begin{eqnarray*} (2n+2)! = (2n)! \cdot 2 \cdot (2n+2) \cdot ??? \end{eqnarray*}$

Vielleicht schaffst du den letzten Schritt ja noch selber, welcher Term hilft uns hier an der Stelle der Fragezeichen weiter? ^^

Verdammt, der Term den ich mir gedacht habe stimmt nicht. Denn ich dachte da an 0,5(2n+1), aber dann hätte ich nachher doch nicht etwas dranmultipliziert, was größer eins wäre. grrrrr

Ich muss nochmal überlegen. -.-

06.11.2011, 17:37

Pfirsichtee

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Ok an dieser Stelle komme ich nicht weiter. Vielleicht kann ja jemand anderes aus dem Forum mal drüber sehen und sagen, was man besser machen könnte. Anonsten bin ich gerade etwas ratlos. verwirrt

06.11.2011, 17:48

Zitroneneistee

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$\begin{eqnarray*} \frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^2} = \frac{(2n)!}{(n!)^2} \cdot 2 \cdot \frac{2(n+1)}{n+1} \cdot \frac{n+1}{n+1} \end{eqnarray*}$

Würde das so nicht hinhauen ?

06.11.2011, 17:50

Zitroneneistee

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Allerdings nicht genau mit dem Term den du da stehen hast, aber das weiter müsste passen.
Ich habe es zumindestens so.

Sitze aber grade ein wenig an der a) fest.
Die ist echt tricky Big Laugh

06.11.2011, 17:58

Pfirsichtee

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Dann stimmt der Zähler nicht. Denn dann hast du dort 2 mal 2n+2.. Wir brauchen aber einmal 2n+2 und einmal 2n+1. Durch 2(n+1) haben wir schonmal 2n+2.

Nun brauchen wir also noch 2n+1. Wir dürfen allerdings auch nicht dsie 2 im Zähler unterm Tisch fallen lassen. Also muss 2 x = 2n+1 gelten. Demnach hätten wir x = n + 0,5.

Nun wäre aber der Beruch, den wir hinten dranmultiplizieren nicht mehr mindestens 1, was dazu fürht, dass wir nun im nächsten Schritt kleiner werden würden. Wir können aber nicht beurteilen, ob der Faktor, um den wir kleiner werden nicht vielleicht sogar größer ist, als was wir uns bisher mit dem größer und größer werden aufgebaut haben und somit könnte die Ungleichungskette zusammenfallen...

06.11.2011, 18:01

Zitroneneistee

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Form den Term doch mal um, den ich dir da hingeschrieben habe, dann siehst du das es sehr wohl past. Nur der schluß ist ein wenig trickreich. Das ganze haut aber definitiv hin.

Du muss auch nichtsweiter mehr abschätzen, dass sind alles nur noch Äquivalenzumformungen.

mfg. Zitroneneistee.

Die Aufgabe (a) habe ich nun auch gelöst, allerdings nur mit Hilfe. Da wäre ich nie von alleine drauf gekommen.

06.11.2011, 18:07

Pfirsichtee

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Da scheitern bei dir ja schon die einfachsten Prüfungsmethoden. ^^

Nichtmals für n= 2 stimmt die von dir behauptete Gleichung , geschweige denn für höhere n. In deinen Umformungen ist definitiv ein Fehler. ^^
Wenn du sie einmal niederschreibst kann ich sie mir ja gerne mal ansehen. Und die a) hab ich net, hab zwar den mittleren Teil als Summe aufgeschrieben, aber es fällt mir schwer nachher die IV anzusetzen etc.

Wie gesagt, pass immer auf Gleichheit Äquivalenz und sowas auf.

06.11.2011, 18:12

Zitroneneistee

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Ehm nein. Das ist definitv nicht der Fall.

Du kommst nicht auf den von dir hingeschribenen Term, das ist richtig. Dennoch ist das ganze nicht falsch.

Ich denke mal du hast den einen Term von der linken Seite aufgelöst um zu gucken wo du hin musst richtig ?

$\begin{eqnarray*} \frac{(2n)!}{(n!)^2}\cdot \frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = ? \end{eqnarray*}$

06.11.2011, 18:32

Pfirsichtee

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Also zum Einen ignorierst du einfach mal locker, dass deine Gleichung da oben nicht gilt, was ich schonmal cool finde. xD

Und zum Anderen, der Nenner ist kein Problem, aber beachten wir mal den Zähler. Du schlägst weiter oben als möglichen Lösungsterm für den Zähler vor = n+1.
Also setzen wir das Ganze doch mal ein und schauen, ob da wirklich (2n+2)! rauskommt :

$\begin{eqnarray*} (2n+2)! = (2n)! \cdot (2n+1) \cdot (2n+2) \neq (2n)! \cdot (2n+2) \cdot (2n+2) = (2n)! \cdot 2 \cdot 2(n+1) \cdot (n+1) \end{eqnarray*}$

Aufgrund dieser Ungleichungskette denke ich, dass dein Term halt nicht funktioniert. Wenn du diese Ungleichung widerlegen kannst, geb ich dir demnächst ein Hörnchen oder so aus. Big Laugh

Das Problem ist, dass du mit deinem Term die 2n+1 nicht erreichst sondern nur 2 mal 2n+2.

06.11.2011, 19:12

Zitronentee

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Also ich schreibe einmal die ganze Induktion auf, so wie ich es mir denke:

$\begin{eqnarray*} \frac{4^n}{n+1} < \frac{(2n)!}{(n!)^2} \end{eqnarray*}$

Es ist zu zeigen :

$\begin{eqnarray*} \frac{4^{n+1}}{n+2} < \frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^2} \end{eqnarray*}$

Wir nehmen uns die linke Seite:

$\begin{eqnarray*} \frac{4^{n+1}}{n+2} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{4 \cdot 4^n}{n+2} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{4^n}{n+2} \cdot2 \cdot\frac{2(n+1)}{n+2} \end{eqnarray*}$

< $\begin{eqnarray*} \frac{4^n}{n+2} \cdot2 \cdot\frac{2n+1}{n+1} \end{eqnarray*}$

< $\begin{eqnarray*} \frac{(2n)!}{(n!)^2} \cdot2 \cdot\frac{2(n+1)}{n+1} \cdot \frac{n+1}{n+1} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{(2n)!}{(n!)^2} \cdot2 \cdot\frac{2(n+1)}{n+1} \cdot \frac{n+1}{n+1} \end{eqnarray*}$

< $\begin{eqnarray*} \frac{(2n)!}{(n!)^2}\cdot \frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^{2}} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{(2n)!}{(n!)^2}\cdot \frac{(2n+2)!}{(n+1)!^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(2n)!}{(n!)^2}\cdot \frac{(2(n+2)!}{(n+1)!^{2}} \end{eqnarray*}$

So denke ich mir das.
Wie gesagt, die Überlegung stammt auch nicht von mir, und ich hatte sie nicht ganz nachvollzogen, da mir Aufgabe (a) eigentlich wichtiger ist als (b).

Genau diesen schritt ist mir auch nicht ersichtlich, warum ich das da auf einmal hinqulatsche.

$\begin{eqnarray*} (2n+2)! = (2n)! \cdot (2n+1) \cdot (2n+2) \neq (2n)! \cdot (2n+2) \cdot (2n+2) = (2n)! \cdot 2 \cdot 2(n+1) \cdot (n+1) \end{eqnarray*}$

Hab ich das jemals behauptet ?

Zitat:

Du kommst nicht auf den von dir hingeschribenen Term, das ist richtig. Dennoch ist das ganze nicht falsch.

Achja Induktionen sind schon was feines, hauptsache Aufgabe (a) ist richtig. Freude

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