Halbgruppe, Gruppe

06.11.2011, 14:23

Tafelwerk

Halbgruppe, Gruppe

Auf R sei Verknüpfung o wie folgt definiert :

$\begin{eqnarray*} x o y = a*x + b*y, a,b \in R \end{eqnarray*}$

Für welche a,b ist (R,o)

a) Halbgruppe?

also.. Assoziativgesetz..

$\begin{eqnarray*} \forall x,y,z \in R : x o (y o z) = (x o y) o z \end{eqnarray*}$

führt bei mir zu :

$\begin{eqnarray*} a*x+a*b*y+b^2*z=a^2+a*b*y+b*z \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} a,b \in \left\{ 1,0\right\} \end{eqnarray*}$ .

Is das korrekt, oder hab ich einen Denkfehler?

06.11.2011, 14:43

galoisseinbruder

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RE: Halbgruppe, Gruppe
Tippfehler bei

Zitat:

Original von Tafelwerk

$\begin{eqnarray*} a*x+a*b*y+b^2*z=a^2\color{red}*x \color{black}+a*b*y+b*z \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} a,b \in \left\{ 1,0\right\} \end{eqnarray*}$ .

aber sonst alles richtig.

06.11.2011, 15:21

Tafelwerk

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RE: Halbgruppe, Gruppe
oh vielen Dank!

Auch bei b) bin ich nicht sicher..

b) fuer welche a,b ist (R,o) eine Gruppe?

Assoziativität führte zu $\begin{eqnarray*} a,b \in \left\{0,1\right\} \end{eqnarray*}$

(E) $\begin{eqnarray*} \exists e \in R, sodass \forall x \in R : x o e = x \end{eqnarray*}$ fuehrt zu

$\begin{eqnarray*} a*x + b*e = x \end{eqnarray*}$ , das bedeutet doch, das a=1 und b e {1,0} und e=0 , oder?

dann fehlt noch (I), also

$\begin{eqnarray*} \forall x \in R , \exists x' \in R : x o x' = e \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} ax + bx' = 0 \end{eqnarray*}$ damit wuerde ich auf b=1 und x'=-x kommen.

Also letztendlich auf a=b=1, damit (R,o) Gruppe.

06.11.2011, 15:27

galoisseinbruder

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RE: Halbgruppe, Gruppe

Zitat:

Original von Tafelwerk

$\begin{eqnarray*} a*x + b*e = x \end{eqnarray*}$ , das bedeutet doch, das a=1 und b e {1,0} und e=0 , oder?

Ich kann a=1 folgern,ebenso e=0 falls b=1. Im Fall a=1, b=0 erfüllt aber jedes $\begin{eqnarray*} e \in R \end{eqnarray*}$ die Gleichung. F

06.11.2011, 15:59

Tafelwerk

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RE: Halbgruppe, Gruppe
ohja.

Um aber zu jedem Element ein Inverses zu finden, kann ich b=0 wieder ausschließen, oder?.

Vielen Dank für die schnelle Antwort!

06.11.2011, 16:01

galoisseinbruder

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Richtig. Du könntest den Fall auch mit der Eindeutigkeit des neutralen Elements eliminieren.

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