Exponentialfunktion

06.11.2011, 14:24

maiky

Exponentialfunktion

Meine Frage:
Eine Firma berechnet die täglichen Verkaufszahlen eines Handymodells, das neu eingeführt wird, modellhaft mit der Funktion $\begin{eqnarray*} f_{k} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f_{k} (t)=k \cdot (t-15) \cdot e^-0,01t + k \cdot 15 \end{eqnarray*}$ (k > 0; t Anzahl der Tage nach Einführung des neuen Modells).

a) Die Firma erwirtschaftet einen Gewinn, wenn täglich mehr als 4500 Handys verkauft werden. Berechnen Sie die Länge des Zeitraums in dem ein Gewinn erwirtschaftet wird, für k=200.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} f_{k}(t) = k(t-15) \cdot e^{-0,01t} + k \cdot 15 \end{eqnarray*}$
k = 200
$\begin{eqnarray*} 4500 = 200 \cdot (t-15) \cdot e^{-0,01t} + 200 \cdot 15 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4500 = 200t - 3000 \cdot e^{-0,01t} + 3000 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4500 = 200t \cdot e^{-0,01t} |:200 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 22,5 = t \cdot e^{-0,01t} |ln \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln(22,5) = ln(t \cdot e^{-0,01t}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln(22,5) = -0,01t |:-0,01 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -311,352 = t \end{eqnarray*}$

Was mach ich denn hier falsch?
Und gibt es einen besseren Ansatz?

06.11.2011, 14:28

Johnsen

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Du klammerst falsch aus!

$\begin{eqnarray*} 4500 = 200 \cdot (t-15) \cdot e^{-0,01t} + 200 \cdot 15 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4500 = 200 \cdot e^{-0,01t}\cdot t -3000\cdot e^{-0,01t} + 200 \cdot 15 \end{eqnarray*}$

So muss das aussehen. Siehst du deinen Fehler?

Gruß

Johnsen

06.11.2011, 14:37

maiky

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Also ich muss die Klammer sowohl mit $\begin{eqnarray*} 200 \end{eqnarray*}$ als auch mit $\begin{eqnarray*} e^{-0,01t} \end{eqnarray*}$ ausmultiplizieren?

Wenn ich das richtig verstanden hab und hier mal Klammern setzen würde:

$\begin{eqnarray*} 4500 = 200 \cdot (t-15) \cdot e^{-0,01t} + 200 \cdot 15 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4500 = (200 \cdot e^{-0,01t} \cdot t) - (200 \cdot e^{-0,01t} \cdot -15) + 200 \cdot 15 \end{eqnarray*}$

06.11.2011, 14:42

Johnsen

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Nicht so ganz ... jetzt hast du irgendetwas mit den Vorzeichen vermischt.

Die Lösung steht ja schon in meinem ersten Post. Ich habe hier ja bereits richtig ausgeklammert.

07.11.2011, 13:19

maiky

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1) Ja ist mir schon klar das du das richtig gemacht hast. Aber ich verstehe nicht ganz wie du dazu kamst...Egal ob ich jetzt ein Vorzeichen vertauscht habe - hast du die Klammer mit dem Faktor davor und dem Faktor danach zusammen ausmultipliziert?

2) Mit deiner Lösung komme ich allerdings auch nicht sehr weit:

$\begin{eqnarray*} 4500 = 200 \cdot e^{-0,01t}\cdot t -3000\cdot e^{-0,01t} + 200 \cdot 15 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 22,5 = e^{-0,01t} \cdot e^{-0,01t}\cdot t \end{eqnarray*}$
(-3000 und +3000 heben sich gegeinander auf, 200 hole ich rüber -> 4500/200=22,5)

$\begin{eqnarray*} 22,5 = t \cdot (e^{-0,01t})² \end{eqnarray*}$

1) Richtig? 2) Und jetzt mit Wurzel arbeiten oder wie?

07.11.2011, 14:13

Steffen Bühler

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Johnsen scheint gerade nicht da zu sein...

Zitat:

Original von maiky
hast du die Klammer mit dem Faktor davor und dem Faktor danach zusammen ausmultipliziert?

Hat er. Denn $\begin{eqnarray*} a \cdot (b-c) \cdot d = a \cdot d \cdot b - a \cdot d \cdot c \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 4500 = 200 \cdot e^{-0,01t}\cdot t -3000\cdot e^{-0,01t} + 200 \cdot 15 \end{eqnarray*}$

-3000 und +3000 heben sich gegeinander auf

Moment. An der -3000 hängt noch was dran.

Viele Grüße
Steffen

19.10.2012, 16:42

Kretos

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Hi Leute

Die Aufgabe aus diesem Thread wurde in 2- 3 weiteren Threads behandelt, aber nie gerechnet, sondern immer mittendrin abgebrochen ^^

Daher grabe ich dieses Thema nochmal aus.

Wir haben also

$\begin{eqnarray*} k\cdot (t-15)\cdot e^{-0,01t} +k\cdot 15=4500 \end{eqnarray*}$

Wir formen das ganze für k=200 um und kommen auf:

$\begin{eqnarray*} (t-15)\cdot e^{-0,01t}=7,5 \end{eqnarray*}$

Problem: Ich habe ein t in der Klammer und eins im Exponenten bei dem e...

Wie gehts weiter?

19.10.2012, 16:53

Gast11022013

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Vielleicht wäre es besser gewesen einen komplett neuen Thread zu eröffnen.

Auf jeden Fall brauchst du hier das Newtonverfahren um die Lösung zu bestimmen.
smile

19.10.2012, 17:03

Kretos

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Ja, irgendwie erschien mir der Klick auf "Antworten" einfacher ^^

Newtonverfahren sagt mir allerdings hier nix. Eine Art Intervallschachtelung?!

Sicher dass es keine andere Vorgehensweise gibt? Hab es schon mit hin und her schieben, substituieren, ln und Logarithmusgesetzen probiert, ich verzweifel hier..

(und meine Nachhilfeschülerin lacht mich aus Big Laugh

)

19.10.2012, 17:05

Gast11022013

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Du hast hier eine Funktion der Form:

$\begin{eqnarray*} y=x\cdot e^x \end{eqnarray*}$

An die Lösung kommst du nur mit einem Näherungsverfahren oder der Lambertschen W-Funktion (die Hochschulmathematik ist und von der ich keine Ahnung habe. Augenzwinkern

)

Algebraisch lässt sich das nicht lösen. Da kannst du soviel rumschieben wie du möchtest.
smile

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