Unbeschränktheit von Folgen

06.11.2011, 14:31

Korred

Unbeschränktheit von Folgen

Meine Frage:
Hallo!
Sitze schon was länger an folgendem Problem:
Zeigen Sie: Eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} {0} \end{eqnarray*}$ ist genau dann unbeschränkt, wenn $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{a_n})_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Teilfolge besitzt, die eine Nullfolge ist.

Mir ist schon klar dass dies zutrifft, jedoch weiß ich nicht im geringsten wie ich hier anfangen soll...
Kann mir jmd. einen Denkanstoß geben? Oder die Aussage besser erläutern?

Gruß,
Korred

Meine Ideen:
keine ://

06.11.2011, 15:59

mnt

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RE: Unbeschränktheit von Folgen

Zitat:

Original von Korred
Zeigen Sie: Eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} {0} \end{eqnarray*}$ ist genau dann unbeschränkt, wenn $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{a_n})_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Teilfolge besitzt, die eine Nullfolge ist.

a_n unebeschränkt, dann gilt: |a_n| -> unendlich. Wähle also k>0, dann exisitert N, sodass für n>N |a_n|>k.

Was gilt nun für $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{|a_n|})_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ ? Was kannst du für $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{a_n})_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ folgern?

06.11.2011, 17:46

Korred

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Hab gerade einen völlig anderen Weg eingeschlagen, könntest Du mir sagen was Du davon denkst?
Also:
Eine Folge ist beschränkt wenn es ein $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |a_n| \le M \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} a_n > 0 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{1}{a_n}} = 0 \end{eqnarray*}$
Daraus folgt dass $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ strebt.

Für $\begin{eqnarray*} a_n < 0 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{1}{a_n}} = 0 \end{eqnarray*}$
Daraus folgt dass $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ strebt.
Dann folgt für $\begin{eqnarray*} |a_n| = -a_n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$

06.11.2011, 18:16

René Gruber

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Zitat:

Original von mnt
a_n unbeschränkt, dann gilt: |a_n| -> unendlich.

Das ist ein Fehlschluss - Gegenbeispiel:

$\begin{eqnarray*} a_n = \begin{cases} n & \;\mbox{falls $n$ gerade} \\ 0 & \;\mbox{falls $n$ ungerade} \end{cases} \end{eqnarray*}$

06.11.2011, 18:21

Korred

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$\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ kann doch nicht 0 werden laut Aufgabenstellung

06.11.2011, 18:23

René Gruber

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Hab ich übersehen, na dann eben Gegenbeispiel

$\begin{eqnarray*} a_n = \begin{cases} n & \;\mbox{falls $n$ gerade} \\ 1 & \;\mbox{falls $n$ ungerade} \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

07.11.2011, 11:46

Mikadobrain

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Selbes Problem
Hallo.
Ich habe genau das selbe Problem (Studium in Düsseldorf?)
Mit dem Ansatz von mnt glaube ich auch gezeigt zu haben, dass wenn $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ unbeschränkt ist, $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a_n} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist.
Jetzt könnte ich den Schluss natürlich in die umgekehrte Richtung ziehen, aber damit wäre nur gezeigt, dass aus
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{a_n} = 0 \end{eqnarray*}$
folgt, dass $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ unbeschränkt ist. Dafür brauche ich aber doch den Teilfolgenbegriff überhaupt nicht. Natürlich hat $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a_n} \end{eqnarray*}$ eine Teilfolge die Nullfolge ist, nämlich die Teilfolge $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a_n} \end{eqnarray*}$ .
Die Aufgabe erscheint mir damit aber noch nicht gelöst zu sein, oder?

Kleine Frage am Rande:
Gibt es in diesem Forum die Möglichkeit, innerhalb eines Posts Inhalte so zu verstecken, dass sie extra angeklickt werden müssen um Zugriff darauf zu haben? Dann könnte ich nämlich mal meinen Weg zur Überprüfung posten ohne dass Korred ihn sieht.

Lg
Micha

EDIT:
Ich hab total den Einwand gegen mnt ausgeblendet. Damit ist meine Rechnung wahrscheinlich hinfällig. Bleibt aber trotzdem die Frage, ob die Aufgabe gelöst wäre sobald gezeigt ist dass die Umkehrfolge eine Nullfolge ist.

07.11.2011, 11:53

René Gruber

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Sagt euch das Wort Gegenbeispiel etwas - G E G E N B E I S P I E L:

Zitat:

Original von René Gruber
$\begin{eqnarray*} a_n = \begin{cases} n & \;\mbox{falls $n$ gerade} \\ 1 & \;\mbox{falls $n$ ungerade} \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Dieses $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ ist unbeschränkt, aber das zugehörige

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a_n} = \begin{cases} \frac{1}{n} & \;\mbox{falls $n$ gerade} \\ 1 & \;\mbox{falls $n$ ungerade} \end{cases} \end{eqnarray*}$

ist offensichtlich KEINE Nullfolge. Aus diesen Gründen (natürlich dient das Beispiel nur als Demonstration) braucht man das mit der Teilfolge...

07.11.2011, 13:44

mnt

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Da habe ich zu schlampig argumentiert. Tut mir leid...

07.11.2011, 18:06

Mikadobrain

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@ René: Tut mir Leid, wie ich noch reindeditiert habe: Ich hatte deine Einwände vollkommen überlesen.

Wie sieht es mit folgender Lösungsidee aus? Ist das prinzipiell so machbar?

Sei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(a_n)_k} \end{eqnarray*}$ Teilfolge von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(a_n)} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty}\frac{1}{(a_n)_k}=0 \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} (a_n)_k \end{eqnarray*}$ unbeschränkt.

Da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(a_n)_k} \end{eqnarray*}$ Teilfolge von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(a_n)} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (a_n)_k \end{eqnarray*}$ Teilfolge von $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$

In Mengenschreibweise: $\begin{eqnarray*} a_n = \left\{a_n | n \in \mathbb N\right\} \cup \left\{(a_n)_k | n \in \mathbb N, k \in \mathbb N\right\} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} (a_n)_k \end{eqnarray*}$ unbeschränkt ist auch $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ unbeschränkt.

Liebe Grüße,
MIcha

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