Zeige Konvergenz der Reihe

06.11.2011, 15:02

Beshlor

Zeige Konvergenz der Reihe

Meine Frage:
Ich solle die Konvergenz der Reihe:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k^{2} }{2^{k} + 3^{k} } \end{eqnarray*}$
bestimmen.
Kann mir einer einen Tipp geben, mit welchem Konvergenzkriterium ich da ran gehen soll?

Meine Ideen:
Ich denke die Reihe konvergiert.
Ich finde allerdings keine Reihe die Größer ist und konvergiert um das Majorantenkriterium anzuwenden...

Vielen dank!

06.11.2011, 15:26

WaechterT

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Nur geraten beim Anblick der Reihe: Hast du schon mal das Quotientenkriterium versucht?

06.11.2011, 16:36

Beshlor

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Ja, hab ich veruscht.. vllt komms du ja weiter als ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{(k+1)^2}{2^{k+1} +3^{k+1}} * \frac{2^{k} +3^{k}}{k^2} \end{eqnarray*}$
ja, ich hab versucht zu kürzen, aber geht nicht, weil Summe im nenner steht.
Bino. Formel auflösen hilft mir auch nicht weiter...

lg

07.11.2011, 09:05

Beshlor

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Ich habs mal mit dem Majorantenkriterium versucht.
Komme auf Folgende Lösung

$\begin{eqnarray*} \frac{k^2}{2^k+3^k} \leq \frac{k^2}{2^k+2^k}<br /> = \frac{k^2}{2*2^k} \end{eqnarray*}$
Jetz mit Quotientenkriterium:

$\begin{eqnarray*} \frac{(k+1)^2}{2*2^{k+1}} * \frac{2*2^k}{k^2} = \frac{(k+1)^2}{2k^2} = \frac{k^2+2k+1}{2*k^2} = \frac{1+\frac{2}{k}+\frac{1}{k^2} }{2} < 1 \end{eqnarray*}$

somit ist auch die erste Reihe konvergent.
Sehe ich das richtig.
Wäre über eine Bestätigung dankbar!

07.11.2011, 09:34

René Gruber

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Ja, ist richtig. Freude

Der Form halber würde man hier

Zitat:

Original von Beshlor
$\begin{eqnarray*} \frac{1+\frac{2}{k}+\frac{1}{k^2} }{2} < 1 \end{eqnarray*}$

aber noch anfügen "für genügend große $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ", denn für alle $\begin{eqnarray*} k\geq 1 \end{eqnarray*}$ gilt das ja nicht - muss es ja auch nicht. Augenzwinkern

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