Potenzen - Aufgabe

06.01.2007, 14:03

Medi

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Potenzen - Aufgabe

Hallo zusammen,

die Aufgabe lautete, die Basis der Potenzen zu verkleinern.
Könnt ihr mir vielleicht erklären, wie man das macht?

Beispiele:
$\begin{eqnarray*} 8^{5}= (2^{3})^{5}= 2^{15} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 81^{m} = (9^{2})^{m} = (3^{4})^{m} = 3^{4m} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9^{0,5}=9{\frac{1}{2} } = \sqrt{9} = 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 64^{2u}=(8^{2})^{2u}=8^{4u}=(2³)^{4u} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 27^{m+n}=3³(^{m+n}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (16^{m})³=((2^{4})^{m})³=(2^{12})^{m}=2^{12m} \end{eqnarray*}$

Danke schön,
Medi

06.01.2007, 14:08

Lazarus

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Also $\begin{eqnarray*} \left(x^a\right)^b=x^{a\cdot b} \end{eqnarray*}$ ist hoffentlich bekannt.

Dann wäre es jetzt gut wenn du die Quadratzahlen von 1 bis 15 kennst.

Dann erkennt man sofort, es handelt sich fast immer um Quadratzahlen oder im Falle 8 und 27 um Kubikzahlen.

06.01.2007, 14:20

babelfish

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=> verschoben!
potenzen gehören in die algebra! Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.01.2007, 14:46

Medi

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Zitat:

Original von Lazarus
Also $\begin{eqnarray*} \left(x^a\right)^b=x^{a\cdot b} \end{eqnarray*}$ ist hoffentlich bekannt.

Ja, ist es Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Lazarus
Dann wäre es jetzt gut wenn du die Quadratzahlen von 1 bis 15 kennst.

Dann erkennt man sofort, es handelt sich fast immer um Quadratzahlen oder im Falle 8 und 27 um Kubikzahlen

Was für Quadratzahlen und Kubikzahlen?^^

--> Könntest du mir vielleicht mal ein paar der Beispiele vorrechnen, Schritt für Schritt, mit Erklärung, damit ich das versteh?!

LG,
Medi

06.01.2007, 14:49

Lazarus

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Quadratzahlen:
$\begin{eqnarray*} 1^2&=&1\\2^2&=&4\\3^2&=&9\\4^2&=&16\\5^2&=&25\\&\vdots& \end{eqnarray*}$
Kubikzahlen:
$\begin{eqnarray*} 1^3&=&1\\2^3&=&8\\3^3&=&27\\4^3&=&64\\5^3&=&125\\&\vdots& \end{eqnarray*}$

Rest ist das zu erkennen und auszunutzen.

06.01.2007, 15:00

Medi

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Das heißt, der einzige Weg ist, einfach erkennen zu müssen, was für Quadratzahl das is?
Na supi ...

Aber kannst du mal bitte das letzte Beispiel für mich auseinander nehmen?

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06.01.2007, 15:04

Lazarus

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$\begin{eqnarray*} \left(16^m\right)^3=\left(\left(4^2\right)^m\right)^3=\left( \left( \left( 2^2\right)^2\right)^m\right)^3=2^{2\cdot2\cdot m \cdot 3}=2^{12m} \end{eqnarray*}$

06.01.2007, 15:24

Medi

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Zitat:

Original von Lazarus
$\begin{eqnarray*} \left(16^m\right)^3=\left(\left(4^2\right)^m\right)^3 \end{eqnarray*}$

Das kann ich nachvollziehen

Zitat:

Original von Lazarus
$\begin{eqnarray*} =2^{2\cdot2\cdot m \cdot 3}=2^{12m} \end{eqnarray*}$

Das auch, ist logisch.

Zitat:

Original von Lazarus
$\begin{eqnarray*} =\left( \left( \left( 2^2\right)^2\right)^m\right)^3 \end{eqnarray*}$

Aber das versteh ich nicht ... da komm ich nicht mit ...

07.01.2007, 11:01

Medi

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Hilfe? Noch jemand da?

07.01.2007, 11:07

Egal

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Zitat:

Original von Lazarus
$\begin{eqnarray*} \left(16^m\right)^3=\left(\left(4^2\right)^m\right)^3=\left( \left( \left( 2^2\right)^2\right)^m\right)^3=2^{2\cdot2\cdot m \cdot 3}=2^{12m} \end{eqnarray*}$

Das war der komplette Weg was man von dir erwartet ist dass du das Ergebnis als 2er Potenz hinbekommst ob du jetzt den Weg so hinschreibst oder gleich erkennt das $\begin{eqnarray*} 16=2^4 \end{eqnarray*}$ oder das Ergebnis möglicherweise schrittweise einfügst bleibt dabei dir überlassen. Aber wenn du 4 durch $\begin{eqnarray*} 2^2 \end{eqnarray*}$ ersetzt muss da eben immer eine Klammer um den eingesetzen Ausdruck und nichts anderes hat Lazarus hier getan.

07.01.2007, 11:20

Medi

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Zitat:

Original von Lazarus
$\begin{eqnarray*} =\left( \left( \left( 2^2\right)^2\right)^m\right)^3 \end{eqnarray*}$

Also weil $\begin{eqnarray*} 4 = 2² \end{eqnarray*}$ . Aber weil die $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} ² \end{eqnarray*}$ ist, muss die $\begin{eqnarray*} 2² \end{eqnarray*}$ auch noch mal $\begin{eqnarray*} ² \end{eqnarray*}$ genommen werden?
Und das $\begin{eqnarray*} ^{m} \end{eqnarray*}$ und die $\begin{eqnarray*} ³ \end{eqnarray*}$ werden dann einfach wieder so drumherum gelegt, wie oben schon.
$\begin{eqnarray*} (((2²)²{m})³ \end{eqnarray*}$

Richtig verstanden?

07.01.2007, 12:52

RS

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Naja in der Lösung die du ganz am Anfang gepostet hattest, hatte man die 16 gleich in $\begin{eqnarray*} 2^4 \end{eqnarray*}$ zerlegt. Man könnte aber auch (so wie Lazarus es gezeigt hat) die 16 erst in $\begin{eqnarray*} 4^2 \end{eqnarray*}$ zerlegen. Nun kann man hier die 4 ja auch als $\begin{eqnarray*} 2^2 \end{eqnarray*}$ schreiben. Also käme dann $\begin{eqnarray*} (2^2)^2 \end{eqnarray*}$ =(ursprünglich $\begin{eqnarray*} 4^2 \end{eqnarray*}$ ) heraus.

Nun noch das hoch m und die hoch 3 "drum gelegt" Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Verstanden hast dus meiner Meinung nach... Wink

Wink

07.01.2007, 13:01

Medi

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Dann is ja gut^^

Danke schön, euch dreien smile

smile

08.01.2007, 20:19

Medi

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Noch mal ne kurze Frage^^

Wie kann man die Basis von 12^{24} noch kleiner kriegen?

08.01.2007, 20:27

Lazarus

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$\begin{eqnarray*} 12=4\cdot 3 = 2^2\cdot 3 \end{eqnarray*}$
Ist das wirklich kürzer?
Naja, aber gefordet is halt am Ende Primzahlpotenzen zu erhalten

08.01.2007, 20:33

Medi

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Na ja, die Basis soll nur aus einer Zahl bestehen.
Also 2*3 macht sich da doof.

Noch ne andere Möglichkeit? Der Exponent darf ja hoch sein!

08.01.2007, 20:35

Lazarus

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12 ist keine Primzahlpotenz. d.h. in eine Zahl nicht weiter zerlegbar.

09.01.2007, 15:40

Medi

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Achso ... na dann bin ich ja beruhig^^ Dann muss ich nichts weiter machen Augenzwinkern

Augenzwinkern

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