g o f bijektiv => f, g bijektiv |
| 06.11.2011, 15:37 | Heurazio | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| g o f bijektiv => f, g bijektiv ich studiere Informatik im 1 Semester. Als Übung soll ich die Aussage das wenn g o f biejktiv ist auch f und g bijektiv sind beweisen. Leider stehe ich mit den gesamenten Beweisen (noch) auf Kriegsfuß und habe keinen wirklichen Ansatz wie ich an so etwas heran gehen soll geschweige denn so etwas zu Papier bringen soll. Rein vom Gefühl her würde ich denken das die Aussage stimmt denn, wenn g(f(x)) bijektiv sein soll müssen beide Funktionen bijektiv sein da ansonsten informationen verloren gehen. Wenn z.B f(x) = x^2 und g(x) = x, also f surjektiv und g bijektiv können trotzdem nich alle Werte des Zielbereichs getroffen werden da ja f nur positive Werte liefert. Also müssen nach meiner Überlegung beide Bijektiv sein. Mir ist natürlich bewust das ein Beispiel kein Beweis ist aber wie ich es (richtig) beweisen soll ist mir völlig schleierhaft. Desweiteren wäre ein Überlegung ob es zulässig wäre den Zielbereich auf die Positiven reelen Zahlen einzuschränken. Dann wäre die Bedingung der Bijektivität ja wieder gegeben. über jede Hilfe wäre ich sehr dankbar Mfg Heurazio ps: ich sehe gerade das der Post im falschen Board ist. Könnte ein Mod das bitte verschieben. Danke |
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| 06.11.2011, 15:51 | mnt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: g o f bijektiv => f, g bijektiv Der Beweis besteht aus 4 Teilen: g, f injektiv, g,f surjektiv. Ich geb der mal eines davon als Beispiel. f injektiv: Wir wissen: g o f ist injektiv. Wähle x!=y aus dem Definitionsbereich von f, dann gilt g(f(x)) != g(f(y)). Wenn f(x)=f(y) wäre, dann wäre auch g(f(x)) = g(f(y)), also ist f(x)!=f(y) und somit sit f injektiv. |
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| 06.11.2011, 16:01 | Gastmathematiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: g o f bijektiv => f, g bijektiv
Versuche als Übung lieber mal, die Aussage zu widerlegen, die ist nämlich falsch. |
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| 06.11.2011, 16:06 | Heurazio | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: g o f bijektiv => f, g bijektiv Hallo mnt, danke für deine Antwort. 2 Dinge sind mir unklar. 1: Woher weis ich das g o f injektiv sein muss ? ... wäre es nicht auch möglich das es surjektiv ist oder keins von beiden ? 2: resultiert ansich aus a. wenn f zwar injektiv ist aber g surjektiv, denn wäre ja f(x) != f(y) aber g(f(x)) = g(f(y)). Somit wäre mein Beweis hinfällig. irgentwie drehen sich die Beweise für mich im Kreis und ich erkenne keinen "logischen Schluss" (vorallem in den Schematas die in den Vorlesungen dran kommen). Wenn ich zu einem Zeitpunkt eine Annahme treffe wie "g o f ist injektiv" dann kann ich ja nicht mehr von einem Beweis sprechen da das Ergebniss durch meine Annahme beeinflusst bzw. vorweg genommen wurde. |
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| 06.11.2011, 16:13 | mnt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: g o f bijektiv => f, g bijektiv Definition: bijektiv = injektiv und surjektiv
Wirklich? |
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| 06.11.2011, 16:16 | Heurazio | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: g o f bijektiv => f, g bijektiv achsooo ... hups ... ja ok da stand ich wohl auf dem schlauch... |
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| 06.11.2011, 19:43 | Gastmathematiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: g o f bijektiv => f, g bijektiv
Ja, wirklich. Es folgt nur, dass f injektiv sein muss und g surjektiv. f muss aber nicht surjektiv und g nicht injektiv sein. Edit: Es gilt sogar: Ist injektiv, dann existiert ein surjektives mit bijektiv. Ebenso andersrum: Ist surjektiv, dann existiert ein injektives mit bijektiv. |
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| 07.11.2011, 09:15 | mnt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: g o f bijektiv => f, g bijektiv Wenn f nicht surjektiv ist, dann existieren x!=y sodass f(x)=f(y) und somit ist g(f(x))=g(f(y)) womit g o f nicht injektiv ist. Wo ist mein Fehler? |
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| 07.11.2011, 09:42 | Gastmathematiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: g o f bijektiv => f, g bijektiv
Das hat mit surjektiv nichts zu tun, sondern f ist dann nicht injektiv. Das f injektiv sein muss, habe ich aber geschrieben. |
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| 07.11.2011, 09:57 | mnt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: g o f bijektiv => f, g bijektiv Oh man, du hast natürlich recht... 
Gegenbeispiele sind ja einfach zu finden. Es müsste noch etwas gefordert sein, damit f surjektiv ist und dann folgt die injektivität von g. |
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