Abbildung prüfen auf(surjektiv, injektiv...)

06.11.2011, 15:42

xPegasusx

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Abbildung prüfen auf(surjektiv, injektiv...)

Hallo,

ich sitze gerade vor einem Problem.
Ich muss in einer Aufgabe Abbildungen auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität prüfen.

Die Aufgaben:
1.
$\begin{eqnarray*} f1: R^{2} \Rightarrow -> R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x,y) \Rightarrow x * y \end{eqnarray*}$
Wobei die Pfeile jetzt etwas anders aussehen.(Normaler Pfeil in der ersten Zeile, Pfeil mit Querstrich am Anfang in der 2.Zeile. Das R ist auch kein normales R, sondern eins wie bei den Natürlichenzahlen, Rationalenzahlen usw.)
Aber ich denke das macht nicht viel aus?

Mein Gedanke war es ist surjektiv, da ersichtlich ist, dass sowohl x, als auch y der selbe Wert(x*y) zugewiesen wird.
Ob das reicht und stimmt weiß ich nicht.

2.
$\begin{eqnarray*} f1: R \Rightarrow -> R^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y \Rightarrow (x^{2}+1,(x+1)^{2}) \end{eqnarray*}$

Hier habe ich noch keinen Ansatz, weil ich mir da nichts vorstellen kann.

Ich hoffe ihr könnt mir einen guten Ansatz geben oder zmd. mit Aufgabe 1 soweit helfen das ich 2 dann im Schlaf kann Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.11.2011, 16:03

Mulder

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RE: Abbildung prüfen auf(surjektiv, injektiv...)
Also dann erstmal zur 1) Korrekte Schreibweise:

$\begin{eqnarray*} f_1: \mathbb R^2 \to \mathbb R \, , \, (x,y) \mapsto x \cdot y \end{eqnarray*}$

Zitat:

Mein Gedanke war es ist surjektiv, da ersichtlich ist, dass sowohl x, als auch y der selbe Wert(x*y) zugewiesen wird.

Ich weiß nicht, was du damit sagen möchtest. Surjektivität macht man für gewöhnlich so: Man nimmt sich ein beliebiges Element aus dem Bild und gibt dann ein ganz konkretes Urbild dazu an. Dann ist die Existenz nachgewiesen.

Start: Sei $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Gib doch ein Urbild dazu an. Irgendeins. Du kannst es dir hier ganz einfach machen.

Und wenn f nicht sujektiv ist, gib ein konkretes Beispielelement aus dem Bild an, das kein Urbild hat.

Injektivität: Du kannst ein ganz konkretes Gegenbeispiel angeben, wenn f nicht injektiv ist.

Und wenn f doch injektiv ist, zeige, dass aus f(a)=f(b) schon a=b folgen muss.

Übrigens findest du auf Wikipedia in den jeweiligen Artikeln auch ein paar konkrete Beispiele. Die sind meistens sehr anschaulich, um die Begriffe kennen zu lernen.

06.11.2011, 16:48

xPegasusx

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Ok danke, Wiki hat mir zmd. die Verständnis verbessert.

Aber ich verstehe das R noch nicht ganz.
Was heißt jetzt R²?
Steht das für die Reelenzahlen?
Hat das eine besondere Bedeutung?

Was mich außerdem verwirt ist (x,y). Warum stehen die jetzt auf einer Seite?

06.11.2011, 16:58

Mulder

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R und R² sind einfach Mengen, wo liegt da das Problem? R sind die reellen Zahlen und der R² ist eben die Menge dieser Tupel (x,y) wobei x und y wieder reelle Zahlen sind.

Mengen müssen doch nicht immer nur aus einzelnen Zahlen bestehen. Hier sind es eben Zahlenpaare. Damit kannst du aber genau so arbeiten.

06.11.2011, 17:10

xPegasusx

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ja okay das klingt vlt. alles ganz gut, aber ich hab das am Mittwoch von der Tafel abgeschrieben und gerade mal grob verstanden was surjektiv, injektiv... ist.
Aber jetzt eine Abbildung zu prüfen hatten wir noch gar nicht, bzw. das sind die ersten Aufgaben.
Daher bin ich noch total verwirrt, kann mich auch nicht korrekt mit der Form auseinander setzen.

Zur 1. Aufgabe:
Die Abbildung ist aufjedenfall surjektiv.
So fern meine Vorgehensweise richtig ist:
(x,y) - > x*y
(0, 1) -> 0
(1,1) -> 1
(2,1) -> 2

Die Zielmenge wird mind. einmal als Fkt.wert angenommen.
Wobei denke ich es reicht zu zeigen das ein Funktionswert 0 annehmen kann(schneiden) und es danach weiter geht?

Injektiv wäre sie aber auch, weil jedes Urbild abgebildet wird.

=Bijektiv?
Stimmt das?

06.11.2011, 17:17

Mulder

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Zitat:

Original von xPegasusx
So fern meine Vorgehensweise richtig ist:
(x,y) - > x*y
(0, 1) -> 0
(1,1) -> 1
(2,1) -> 2

So funktioniert die Abbildung. Aber ein paar einzelne Beispiele sind nutzlos für einen Beweis. Zu zeigen ist, dass es für jedes Element aus dem Bildbereich ein Urbild gibt. Du hast jetzt für 0,1 und 2 ein Urbild angegeben. Deswegen muss es noch lange kein Urbil für 3 geben. Oder für 1/2. Oder die anderen unendlich vielen reellen Zahlen.

Nehmen wir zum Beispiel mal die 4. hat die 4 ein Urbild? Ja, man könnte zum Beispiel als Urbild (2,2) nehmen, denn 2*2=4. Also hat die 4 ein Urbild. Hat die 10 ein Urbild? Ja, man könnte zum Beispiel (2,5) angeben, denn 2*5=10. Was ist nun allgemein für ein z aus dem Bild? Hat z ein Urbild? Kannst du eines angeben? Wenn dir das gelingt, hast du es allgemein gezeigt.

Zitat:

Original von xPegasusx
Injektiv wäre sie aber auch, weil jedes Urbild abgebildet wird.

Dieser Satz macht keinen Sinn. Am besten noch mal die Definition nachschlagen. Du vergeudest nur deine zeit, wenn du noch nicht verstanden hast, was die Begriffe aussagen.

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06.11.2011, 17:36

xPegasusx

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Ok es war falsch formuliert.
Jedes Element des Urbildes(Def. Menge) wird eindeutig auf ein Element in der Zielmenge abgebildet.

Wie macht man das denn jetzt mit z?
Ich kenne die Vollständige Induktion als Beweismittel.

06.11.2011, 17:44

Mulder

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Zitat:

Original von xPegasusx
Jedes Element des Urbildes(Def. Menge) wird eindeutig auf ein Element in der Zielmenge abgebildet.

Dieser Satz hat ebenfalls nichts mit Injektivität zu tun. Oder du formulierst es nur völlig falsch.

Zitat:

Original von xPegasusx
Ich kenne die Vollständige Induktion als Beweismittel.

Damit ist hier doch nun wirklich rein gar nichts anzufangen.

Zitat:

Original von xPegasusx
Wie macht man das denn jetzt mit z?

Sei also $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ beliebig. Gibt es ein Urbild? Ja, wähle zum Beispiel $\begin{eqnarray*} (z,1) \in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ . Denn es ist $\begin{eqnarray*} f((z,1))=z \cdot 1 = z \end{eqnarray*}$ . Also ist f surjektiv.

06.11.2011, 17:59

xPegasusx

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Ok cool jetzt hab ich verstanden wie man surjektivität beweist.

Inektiv ist das Y(Zielmenge) höchstens ein mal als Funktionswert angenommen wird.

Also wäre es dann logisch das es hier nicht so ist.
Denn unser neues z kann durch (z, 1) und (1,z) dargestellt werden.
Hoffe das stimmt so?

$\begin{eqnarray*} f((z,1)) = f((1,z)) \end{eqnarray*}$

Damit ist f1 eine surjektive Abbildung.

06.11.2011, 18:04

Mulder

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Zitat:

Original von xPegasusx
Inektiv ist das Y(Zielmenge) höchstens ein mal als Funktionswert angenommen wird.

Also wäre es dann logisch das es hier nicht so ist.
Denn unser neues z kann durch (z, 1) und (1,z) dargestellt werden.
Hoffe das stimmt so?

$\begin{eqnarray*} f((z,1)) = f((1,z)) \end{eqnarray*}$

Genau. (z,1) und (1,z) sind nur zwei Beispiele, man könnte noch unendlich viele mehr angeben. Zum Beispiel (2,z/2) oder (3,z/3) und so weiter und so fort. Aber zwei Beispiele reichen schon völlig.

Damit ist f1 surjektiv, aber nicht injektiv, richtig.

06.11.2011, 18:08

xPegasusx

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Okay danke schon mal.
Aufgabe 2 werde ich noch anfangen und mich dann melden wenn es Probleme gibt.
Vorher muss ich erst mal durschnaufen.

edit:
Aufgabe 2:

Surjektiv ist die Funktion nicht:
Kurz zusammengefasst:
$\begin{eqnarray*} z^{2} +1 != z \end{eqnarray*}$
Wie der andere Teil auch.

Injektiv:
Muss ich da jetzt zeigen das folgendes "nicht" gilt?
$\begin{eqnarray*} x^{2} +1 = (x+1)^{2} \end{eqnarray*}$

06.11.2011, 18:51

Mulder

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Zitat:

Original von xPegasusx
Surjektiv ist die Funktion nicht:
Kurz zusammengefasst:
$\begin{eqnarray*} z^{2} +1 != z \end{eqnarray*}$
Wie der andere Teil auch.

Damit kann ich nichts anfangen. Wenn f nicht surjektiv ist, gib ein ganz konkretes Beispiel an. Und damit meine ich jetzt wirklich ganz konkrete Zahlen einsetzen! Das ist am einfachsten.

Du musst unterscheiden: Willst du zeigen, dass etwas gilt, musst du das allgemein machen. Willst du aber irgendeine Aussage widerlegen, dann kannst du ein ganz konkretes Beispiel angeben.

Zitat:

Original von xPegasusx
Injektiv:
Muss ich da jetzt zeigen das folgendes "nicht" gilt?
$\begin{eqnarray*} x^{2} +1 = (x+1)^{2} \end{eqnarray*}$

Damit kann ich auch nichts anfangen.

06.11.2011, 19:05

xPegasusx

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Ok für die Surjektvität genügen ja ein zwei Beispiele, um sie zu widerlegen.

Für die injektivität, die meiner Annahmenach auf die Abbildung zu trifft wollte ich die Funktionsterme auf der rechten Seite gleich setzen.

Soll ich dann jetzt erst ein z festlegen und dann gleich setzen?

$\begin{eqnarray*} (z^{2}+1,(z+1)^{2}) \in \mathbb R ^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^{2} +1 = (z+1)^{2} \end{eqnarray*}$
...

06.11.2011, 19:14

Mulder

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Zitat:

Original von xPegasusx
Ok für die Surjektvität genügen ja ein zwei Beispiele, um sie zu widerlegen.

Wieso zwei? Eins reicht doch.

Welche Beispiele hast du denn anzubieten?

Was du jetzt bei der Injektivität geschrieben hast, vergessen wir mal wieder, das ist nämlich ebenfalls wieder alles am Thema vorbei. Nochmal zurück:

Zitat:

Inektiv ist das Y(Zielmenge) höchstens ein mal als Funktionswert angenommen wird.

Das y ist jetzt ein Zahlenpaar aus dem R². Denn die Abbildung bildet ja nun genau andersrum ab als die vorherige. Vorher war es von R² nach R, jetzt ist es von R nach R².

Um Injektivität zu beweisen, nimmt man sich zwei Elemente aus dem Bildbereich und setzt sie gleich:

$\begin{eqnarray*} (x^{2}+1,(x+1)^{2}) = (y^{2}+1,(y+1)^{2}) \end{eqnarray*}$

Wenn daraus schon x=y folgt, ist f2 injektiv.

Versuch, das Prinzip dahinter zu verinnerlichen. Vor allem versuch, dir selbst mit eigenen Worten klar zu machen, was das eigentlich dann aussagt.

06.11.2011, 19:47

xPegasusx

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1 -> (2,4)
2 -> (5,9)

Ok zur Injektvität, sieht ganz gut aus und ich verstehe es auch.
Aber mit dem Komma dazwischen könnte ich nicht rechnen.

11.11.2011, 12:10

xPegasusx

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$\begin{eqnarray*} (x^{2}+1,(x+1)^{2})%20=%20(y^{2}+1,(y+1)^{2}) \end{eqnarray*}$
Ich weiß einfach nicht wie ich das auflösen soll.
Die Kommas verwirren mich...

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