Symmetrische Differenz

06.11.2011, 18:05	Zuzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetrische Differenz Es gilt für beliebige Gruppenelemente g,h : $\begin{eqnarray} \lim_{i \to \infty} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\|gF_i\Delta F_i\|}{\|F_i\|} \end{eqnarray}$ =0 .Analog für h,wobei F_i eine Folge von endlichen Teilmengen einer Menge X ist,auf der die Gruppe operiert. Soll zeigen,daß es auch für $\begin{eqnarray} gh^{-1} \end{eqnarray}$ gilt. Ist es so richtig? $\begin{eqnarray} \lim_{i \to \infty} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\|gh^{-1}F_i\Delta F_i\|}{\|F_i\|} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \lim_{i \to \infty} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\|h^{-1}F_i \Delta g^{-1} F_i\|}{\|F_i\|} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{i \to \infty} \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} \frac{\|h^{-1}F_i \Delta F_i\|+\|F_i\Delta g^{-1} F_i\|}{\|F_i\|} \end{eqnarray}$ )= $\begin{eqnarray} \lim_{i \to \infty} \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} \frac{\|F_i\Delta hF_i\|+\|gF_i\Delta F_i\|}{\|F_i\|} \end{eqnarray}$ )= $\begin{eqnarray} \lim_{i \to \infty} \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} \frac{\|hF_i\Delta F_i\|+\|gF_i\Delta F_i\|}{\|F_i\|} \end{eqnarray}$ )= $\begin{eqnarray} \lim_{i \to \infty} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\|hF_i\Delta F_i\|}{\|F_i\|} \end{eqnarray}$ + $\begin{eqnarray} \lim_{i \to \infty} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\|gF_i\Delta F_i\|}{\|F_i\|} \end{eqnarray}$ =0+0=0 somit folgt die Behauptung. Wie ist es mit: $\begin{eqnarray} \lim_{i \to \infty} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\|gF_i\cap F_i\|}{\|F_i\|} \end{eqnarray}$ =1 ,analog für h? zu zeigen: $\begin{eqnarray} \lim_{i \to \infty} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\|gh^{-1} F_i\cap F_i\|}{\|F_i\|} \end{eqnarray}$ =1

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