Quadrat von Integral <= Integral Quadrat von Integrant

06.11.2011, 21:04	Paulisch	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadrat von Integral <= Integral Quadrat von Integrant Hallo, mich würde mal interessieren, ob diese Beziehung gilt: $\begin{eqnarray} (\int_a^b \! f(x) \, dx)^2\le \int_a^b \! f^2(x) \, dx \end{eqnarray}$ Mir geht es nicht um den Beweise. Mich würde nur interessieren, ob das stimmt oder nicht, da ich es brauche um eine Abschätzung durchzuführen.
06.11.2011, 21:34	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das gilt nicht, aber für den Spezialfall $\begin{eqnarray} a=0, b=1 \end{eqnarray}$ (vielleicht brauchst du ja genau den) liefert Cauchy-Schwarz: $\begin{eqnarray} \left(\int_0^1 f(x)dx\right)^2 \leq \left(\int_0^1 \|f(x)\| \cdot 1 dx\right)^2 \leq \int_0^1 f^2(x)dx \int_0^1 1^2dx = \int_0^1 f^2(x)dx \end{eqnarray}$
07.11.2011, 18:25	Paulisch	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau so wollte ich das machen. Aber wieso geht das nur auf [0,1]? Das sehe ich leider nicht.
07.11.2011, 18:35	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau genommen gilt es für alle $\begin{eqnarray} a,b: (b-a)\leq 1 \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} \int\limits_a^b 1 \, dx = (b-a) \end{eqnarray}$

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