Unbestimmtes Integral lösen

06.11.2011, 23:16

MatheKind

Unbestimmtes Integral lösen

Hallo,
ich soll folgenden unbestimmten Integral lösen, bin mir aber nicht sicher, ob ich das richtig gemacht habe:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{2x^4 - 3\sqrt{x} }{7\sqrt[3]{x^4} } \, dx = \frac{2}{7}\int \! \frac{x^4}{x^{4/3} } \, dx - \frac{3}{7}\int \! \frac{x^{1/2} }{x^{4/3}} \, dx = \frac{2}{7}\int \! x^4*x^{-4/3} \, dx - \frac{3}{7}\int \! x^{1/2}*x^{-4/3} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{2}{7}\int \! x^{12/3}*x^{-4/3} \, dx - \frac{3}{7}\int \! x^{3/6}*x^{-8/6} \, dx = \frac{2}{7}\int \! x^{8/3} \, dx - \frac{3}{7}\int \! x^{-5/6} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{2}{7} * \frac{3}{11} x^{11/3} - \frac{3}{7} * 6 x^{1/6} = \frac{6}{77} x^{11/3} - \frac{18}{7} x^{1/6} = \frac{6}{77} x^3 * \sqrt[3]{x^2} - \frac{18}{7} \sqrt[6]{x} \end{eqnarray*}$

Danke im Voraus!

Liebe Grüße
MatheKind

07.11.2011, 03:19

KA123

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bisschen umständlich gerechnet, aber Ergebnis ist richtig smile

07.11.2011, 09:48

MatheKind

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Super, danke! smile

08.11.2011, 20:13

MatheKind

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Dieselbe Aufgabenstellung: Lösen Sie das folgende unbestimmte Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_0^x \! f(t) \, dt , &\text{wobei} \ f(x) = \begin{cases} \displaystyle 1, & x \in [0,2] \\ 2x-3, & x \in (2,4] \end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0^2 \! 1 \ dt \Rightarrow F(x) = x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_2^4 \! 2x + 3 \ dt \Rightarrow F(x) = x^2 - 3x + c \end{eqnarray*}$

F(2) muss bei beiden Funktionen 2 sein, damit die Funktion integrierbar ist:

$\begin{eqnarray*} 2 = 2^2 - 3*2 + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 = -2 + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c = 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x) = \begin{cases} \displaystyle x, & x \in [0,2] \\ x^2-3x + 4, & x \in (2,4] \end{cases} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

Danke im Voraus!
MatheKind

09.11.2011, 09:07

klarsoweit

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Zitat:

Original von MatheKind
F(2) muss bei beiden Funktionen 2 sein, damit die Funktion integrierbar ist:

Unfug. f(t) ist eine abschnittsweise definierte Funktion von auf den Abschnitten stetigen Teilfunktionen und als solche integrierbar.

Ich würde einfach folgendes rechnen:

Für 0 <= x <= 2 ist $\begin{eqnarray*} F(x) = \int_0^x \! 1 \ dt \end{eqnarray*}$

Für 2 < x <= 4 ist $\begin{eqnarray*} F(x) = \int_0^2 \! 1 \ dt + \int_2^x \! (2t - 3) \ dt \end{eqnarray*}$

10.11.2011, 22:19

MatheKind

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von MatheKind
F(2) muss bei beiden Funktionen 2 sein, damit die Funktion integrierbar ist:

Unfug. f(t) ist eine abschnittsweise definierte Funktion von auf den Abschnitten stetigen Teilfunktionen und als solche integrierbar.

Die Funktion ist bei f(2) aber nicht stetig.
Berechne mal den limes für 2+ und 2- für f(x).

11.11.2011, 08:40

klarsoweit

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Ich habe ja auch nicht behauptet, daß die Funktion insgesamt stetig ist, sondern abschnittsweise aus stetigen Teilfunktionen besteht. Das reicht für die Integrierbarkeit völlig aus.

11.11.2011, 15:40

MatheKind

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Wir haben jetzt die Übungen besprochen und der Prof meinte auch, dass die beiden Teilfunktionen dieselben Grenzen haben müssen, damit die Hauptfunktion integrierbar ist.

11.11.2011, 16:31

Leopold

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Das ist ein Durcheinander. Es entsteht, weil man nie weiß, wovon du sprichst. Von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ? Oder von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ? Funktionen gibt es viele auf der Welt. Aber welche meinst du? Darin liegt, glaube ich, das ganze Mißverständnis begründet, daß du manchmal von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und manchmal von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ redest, aber immer nur "die Funktion" sagst.

Wenn der Integrand $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ integrierbar ist, dann ist die Integralfunktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ automatisch stetig. (In dem Satz ist es wichtig, wo Klein- $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und Groß- $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ steht.)

Wenn der Integrand $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sogar stetig ist, dann ist die Integralfunktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ automatisch differenzierbar. (Auch hier aufpassen!)

Dein Integrand ist gegenteiligen Bekundungen zum Trotz stetig (oder redest du wieder von dem noch unvollständigen $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ?). Also ist $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ differenzierbar. Dazu muß man gar nichts anderes tun, als $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ auszurechnen. Wie das geht, hat klarsoweit gesagt. Alles andere geschieht von ganz alleine.

Du kannst natürlich auch anders vorgehen, und zunächst zwei Stammfunktionen $\begin{eqnarray*} F_1, F_2 \end{eqnarray*}$ auf den Teilintervallen bestimmen

$\begin{eqnarray*} F_1(x) = x \, , \ \ x \in [0,2] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_2(x) = x^2 - 3x \, , \ \ x \in [2,4] \end{eqnarray*}$

Jetzt mußt du auf zwei Dinge achten.

1. Es muß ja $\begin{eqnarray*} F(0) = 0 \end{eqnarray*}$ (in der Definition von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ sind dann untere und obere Grenze des Integrals gleich) gelten. Das paßt für dein $\begin{eqnarray*} F_1(x) \end{eqnarray*}$ . Du mußt hier nicht mehr nachbessern.

2. Nach dem Satz von oben muß $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ differenzierbar sein, insbesondere also stetig. Die Teilfunktion $\begin{eqnarray*} F_2 \end{eqnarray*}$ muß also durch eine additive Konstante so angepaßt werden, daß $\begin{eqnarray*} F_1(2) = F_2(2) \end{eqnarray*}$ gilt. Das geht mit der Konstanten $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ . Daher gilt:

$\begin{eqnarray*} F(x) = \begin{cases} x & \mbox{für} \ 0 \leq x \leq 2 \\ x^2 - 3x + 4 & \mbox{für} \ 2 \leq x \leq 4 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Daß ich hier $\begin{eqnarray*} F(2) \end{eqnarray*}$ scheinbar doppelt definiert habe, stört nicht, denn die beiden Definitionen liefern denselben Funktionswert.

Aber, wie schon gesagt, ist der ganze Zinnober überflüssig, wenn du dich an klarsoweits Vorschlag hältst. Da kommt nämlich das richtige $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ heraus, ganz von alleine ... und gleich differenzierbar ...

12.11.2011, 11:50

MatheKind

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Zitat:

Original von Leopold
Aber, wie schon gesagt, ist der ganze Zinnober überflüssig, wenn du dich an klarsoweits Vorschlag hältst. Da kommt nämlich das richtige $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ heraus, ganz von alleine ... und gleich differenzierbar ...

Danke, für deine Antwort! Und da stört es tatsächlich nicht, dass der limes von F bei x --> 2+ und x --> 2- unterschiedlich ist? Das schließt doch eigentlich Stetigkeit aus?

Wenn gilt: Für 2 < x <= 4 $\begin{eqnarray*} F(x) = \int_0^2 \! 1 \ dt + \int_2^x \! (2t - 3) \ dt = x + x^2 - 3x \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2^+} F(x) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2^-} F(x) = 2 \end{eqnarray*}$ .

Oder habe ich irgendetwas falsch verstanden?

Danke im Voraus!
MatheKind

13.11.2011, 16:59

Leopold

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Sei $\begin{eqnarray*} 2 \leq x \leq 4 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} F(x) = \int_0^x f(t)~\dd t = \int_0^2 f(t)~\dd t + \int_2^x f(t)~\dd t = \int_0^2 1~\dd t + \int_2^x \left( 2t - 3 \right)~\dd t \end{eqnarray*}$

Und wenn du das jetzt berechnest, kommt nicht, was du geschrieben hast, heraus. Beide Integrale sind bestimmte (!) Integrale, wenn auch das zweite in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ eine variable obere Grenze hat. Und solche bestimmten Integrale kann man mit einer Stammfunktion ausrechnen (die Variable dafür ist hier übrigens $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ !). Aber dazu muß man den Wert der Stammfunktion an der unteren Grenze vom Wert an der oberen Grenze abziehen. Und das hast du schlichtweg nicht gemacht. Zweimal nicht.

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