Fundamentallösung Differentialoperator

07.11.2011, 02:57	KA123	Auf diesen Beitrag antworten »
Fundamentallösung Differentialoperator Es geht um folgende Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ und definiere den Differentialoperator $\begin{eqnarray} L:=(-1)^n \partial_1 \ldots \partial_n \end{eqnarray}$ Nun soll ich eine Grundlösung/Fundamentallösung zu L finden, also eine Distribution T mit $\begin{eqnarray} LT=\delta_0 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe mir mal für den Fall n=1 überlegt, dass die reguläre Distribution der Heaviside-Funktion eine Grundlösung ist, denn (Sei h die Heaviside-Funktion) $\begin{eqnarray} - \partial_x [h](\phi) = - \int_{\mathbb R} \! h(x) \partial_x \phi(x) \, dx = - \int_0^{\infty} \! \partial_x \phi (x) \, dx = -(0 - \phi (0)) = \phi (0) = \delta_0 (\phi) \end{eqnarray}$ Nun müsste ich das doch im n-dimensionalen auf die gleiche Weise zu realisieren sein, indem man als Distribution $\begin{eqnarray} T:=[ \chi_{(0,\infty)^n} ] \end{eqnarray}$ nimmt, oder habe ich da irgendwo einen Denkfehler begangen? Bin für jeden Hinweis dankbar!

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