Delta-Distribution / Integration

07.11.2011, 14:45

Physikergast

Delta-Distribution / Integration

Hi,

ich habe folgendes Integral zu lösen:

$\begin{eqnarray*} \int_{gesamter Raum} \! \frac{C}{|\vec{r} - \vec{r'}|} \delta(z - L)\, d\vec{r'} \end{eqnarray*}$

Wobei gilt:

$\begin{eqnarray*} \int \! f(\vec{r}) \delta(\vec{r} - L)\, d\vec{r} = f(L) \end{eqnarray*}$

Da in meiner Aufgabe nun aber ein "z" und kein " $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ " in der Delta-Distribution steht, bin ich etwas verunsichert, wie ich verfahren soll. Spontan würde ich sagen: Koordinatentransformation zwischen kartesischen und Kugelkoordinaten.

Mein $\begin{eqnarray*} f(\vec{r}) = \frac{C}{|\vec{r} - \vec{r'}|} \end{eqnarray*}$ würde dann meiner Meinung nach so aussehen:

$\begin{eqnarray*} |\vec{r} - \vec{r'}| =: R = \sqrt {x^2 + y^2 + z^2} \end{eqnarray*}$ und ich hätte:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{C}{\sqrt {x^2 + y^2 + z^2}} \delta(z - L)\, d\vec{r'} \end{eqnarray*}$

Ich wüsste jetzt aber nicht so recht, wie ich das Integral samt $\begin{eqnarray*} d\vec{r'} \end{eqnarray*}$ umformen sollte. Einfach $\begin{eqnarray*} dx dy dz \end{eqnarray*}$ mit den Grenzen "minus unendlich bis unendlich"?

Wenn der Ansatz so denn überhaupt richtig ist ...

07.11.2011, 16:33

sergej88

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

wenn du es in kartesischen Koordinaten versuchst so schreibst du

$\begin{eqnarray*} \vec{r} = x\vec{e}_x + y\vec{e}_y + z\vec{e}_z \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \vec{r'} = x'\vec{e}_x + y'\vec{e}_y + z'\vec{e}_z \end{eqnarray*}$

entsprechend ist dann
$\begin{eqnarray*} |\vec{r} - \vec{r'}| = \sqrt{ (x - x')^2 + (y-y')^2 + (z - z')^2} \end{eqnarray*}$ .

Ein Volumenelement schreibst du in diesen Koordinaten als $\begin{eqnarray*} d^3\vec{r'} = dx'dy'dz' \end{eqnarray*}$ .

Mit diesen Setzungen kannst du das z-Integral mit der Deltadistribution direkt rauskicken und den rest entsprechend integrieren sofern es nötig ist.

mfg

07.11.2011, 17:04

Physikergast

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von sergej88
Hallo,

wenn du es in kartesischen Koordinaten versuchst so schreibst du

$\begin{eqnarray*} \vec{r} = x\vec{e}_x + y\vec{e}_y + z\vec{e}_z \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \vec{r'} = x'\vec{e}_x + y'\vec{e}_y + z'\vec{e}_z \end{eqnarray*}$

entsprechend ist dann
$\begin{eqnarray*} |\vec{r} - \vec{r'}| = \sqrt{ (x - x')^2 + (y-y')^2 + (z - z')^2} \end{eqnarray*}$ .

Ein Volumenelement schreibst du in diesen Koordinaten als $\begin{eqnarray*} d^3\vec{r'} = dx'dy'dz' \end{eqnarray*}$ .

Mit diesen Setzungen kannst du das z-Integral mit der Deltadistribution direkt rauskicken und den rest entsprechend integrieren sofern es nötig ist.

mfg

Bringt mir das was? In der Distribution steht z. Integriert wird dann aber nach dz'. Bringt mich doch nicht weiter?

07.11.2011, 17:12

sergej88

Auf diesen Beitrag antworten »

Da ich deinen Aufgabenwortlaut nicht genau kenne bin ich davon ausgegangen, dass dieses ein z' sein sollte.

Denn so könnte man diesen Ausdruck als das Potential eines Elektrischen Feldes verursacht durch eine unendlich ausgedehnte geladene Platte auf der Höhe L interpretieren. Alternativ von mir aus auch mit dem Gravitationsgesetz.

mfg

07.11.2011, 17:26

Physikergast

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von sergej88
Da ich deinen Aufgabenwortlaut nicht genau kenne bin ich davon ausgegangen, dass dieses ein z' sein sollte.

Denn so könnte man diesen Ausdruck als das Potential eines Elektrischen Feldes verursacht durch eine unendlich ausgedehnte geladene Platte auf der Höhe L interpretieren. Alternativ von mir aus auch mit dem Gravitationsgesetz.

mfg

Das hast du schon ganz gut interpretiert. Der genaue Aufgabenlaut ist:

"Gegeben sei die Ladungsdichte: $\begin{eqnarray*} \sigma \delta(z - \frac{L}{2}) - \sigma \delta(z + \frac{L}{2}) \end{eqnarray*}$ . Berechnen Sie das elektrostatische Potential und die elektrische Feldstärke."

So und mein Ansatz war jetzt eben die Ladungsdichte in die Potentialgleichung $\begin{eqnarray*} \phi(\vec{r}) = \int \! \rho(\vec{r'}) \frac{1}{|\vec{r}-\vec{r'}|} \, d\vec{r'} \end{eqnarray*}$ einzusetzen. Aber leider steht da echt nur z und nicht z'. Tippfehler bei der Aufgabenstellung?

07.11.2011, 18:02

sergej88

Auf diesen Beitrag antworten »

Das z musst du entsprechend in ein z' umbenennen. Bei der Definition der Ladungträgerdichte wurde halt ein z benutzt. Aber das z ist ja beliebig. in dem Integral muss es ein z' sein. Oder halt alternativ, wenn du bei z bleiben willst

$\begin{eqnarray*} \phi(x',y',z') = \int \limits_{\mathbb{R}^3}\frac{\rho(x,y,z)}{\sqrt{(x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2}}dxdydy \end{eqnarray*}$
wobei hier gleich in Kartesichen Koordinaten alles angegeben ist. Ist schlussendlich dasselbe.

Beachte, dass dein $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ wie oben gegeben ist.

mfg

07.11.2011, 20:09

Physikergast

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar. Nehmen wir einfach mal an, in der Delta-Distribution steht wirklich z'. Dann löst sich der Teil mit der Delta-Distribution ja auf, wenn ich nach z' integriere. Es bleibt dann allerdings noch ein Doppel-Integral übrig, dass ich nicht gelöst bekomme. Nämlich:

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^2} \! \frac{\sigma}{\sqrt{(x-x')^2 + (y - y')^2 + (z - \frac{L}{2})^2}} - \frac{\sigma}{\sqrt{(x-x')^2 + (y - y')^2 + (z + \frac{L}{2})^2}}\, dx' dy' \end{eqnarray*}$

Irgendein Tipp, wie ich das am Einfachsten löse? In kartesischen Koordinaten ja wohl eher nicht.

07.11.2011, 20:32

sergej88

Auf diesen Beitrag antworten »

Versuche durch eine Substitution, Ausklammern und so weiter auf einen Ausdruck der Form

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{1 + v^2}} \end{eqnarray*}$ zu kommen.

Dabei führst du dann erst eine Integration aus. Der sinn ist, dass solche Ausdrücke mittels der Trigonometrischen Funktionen bzw. Hyberbolischen Funktionen ausgewertet werden können. Falls du eine Formelsammlung hast, suche mal nach diesen Ausdrücken, du wirst die Strucktur wiedererkennen.
(ich gehe natürlich davon aus, dass du diese benutzen darfst)

Edit: Ach ja versuche eine Substitution zuerst mit $\begin{eqnarray*} u = x - x', w = y - y' \end{eqnarray*}$ damit du diese hässlichen Ausdrücke wegbekommst. Das schöne ist ja, da du über den ganzen Raum integrierst wird sich da bei dieser Substitution nicht viel ändern Augenzwinkern

mfg

07.11.2011, 20:38

Physikergast

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von sergej88
Versuche durch eine Substitution, Ausklammern und so weiter auf einen Ausdruck der Form

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{1 + v^2}} \end{eqnarray*}$ zu kommen.

Dabei führst du dann erst eine Integration aus. Der sinn ist, dass solche Ausdrücke mittels der Trigonometrischen Funktionen bzw. Hyberbolischen Funktionen ausgewertet werden können. Falls du eine Formelsammlung hast, suche mal nach diesen Ausdrücken, du wirst die Strucktur wiedererkennen.
(ich gehe natürlich davon aus, dass du diese benutzen darfst)

mfg

Um mir Arbeit zu ersparen ... Laut Mathematica hat das Integral für die Grenzen - unendlich bis + unendlich überhaupt keine Lösungen, weil es nicht konvergiert ... Ich habe mal nur Beispielhaft den ersten Summanden versucht auszuwerten: wolframalpha.com/input/?i=Integrate%5B%28g%29+%2F+%5Csqrt%28%28%28x+-+a%29%5E2+%2B+%28y+-+b%29%5E2+%2B+%28z+-+L%2F2%29%5E2%29%29%2C+a%2C+-infty%2C+infty%5D

Das wird sich mit geschickten Substitutionen wohl kaum ändern, nehme ich an. Was läuft da verkehrt?

07.11.2011, 21:22

sergej88

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja du musst aber den Integranden insgesamt betrachten. Du darfst hier nicht die Integrale auseinanderziehen.

Benutze zuerst die obige substitution mit u,w
Anschliessend Polarkoordianten
Jetzt kannst du die Stammfunktion explizit hinschreiben (sogar ohne Trigonometrie)
und jetzt nur noch auswerten.
Kommt was schönes Symmetrisches raus (war zu erwarten denke ich) mit einer physk. Bedeutung Augenzwinkern

Versuche die Schritte nacheinander zu machen.

Am Ende sollte sowas wie $\begin{eqnarray*} \phi(x,y,z) = K( | z- \frac{L}{2}| - |z + \frac{L}{2}| ) \end{eqnarray*}$ rauskommen, mit einer Konstanten K die sich automatisch ergeben wird.

mfg

07.11.2011, 22:06

Physikergast

Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht das Integral letztendlich in Polarkoordinaten so aus?

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^2} \! \frac{\sigma R}{\sqrt{R^2 + (z - \frac{L}{2})^2}} - \frac{\sigma R}{\sqrt{R^2 + (z + \frac{L}{2})^2}}\, dR d\phi \end{eqnarray*}$

Wobei R von 0 bis unendlich und $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ von 0 bis 2 Pi?

07.11.2011, 22:51

sergej88

Auf diesen Beitrag antworten »

07.11.2011, 23:27

Physikerboard

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von sergej88
Freude

Großes Dankeschön nochmal. Hast mir sehr sehr sehr weitergeholfen. Freude

Neue Frage »

Antworten »

Delta-Distribution / Integration

Verwandte Themen