Quadraturformel

06.01.2007, 15:58

kingskid

Quadraturformel

Es sei $\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{1+3x^2} \end{eqnarray*}$
a)...
b) Berechnen Sie die Gewichte der Quadraturformel
$\begin{eqnarray*} I_2(f) := w_0 f(-1) + w_1 f(0) + w_2 f(1) \end{eqnarray*}$

so, dass durch I_2 sämtliche Polynome vom Grad $\begin{eqnarray*} \leq 2 \end{eqnarray*}$ exakt integriert werden.

wenn alle Polys vom grad kleiner gleich 2 exakt integriert werden sollen dann langt es doch wegen der linearität die formel für die Monome 1, x, x^2 aufzustellen, oder?
also
$\begin{eqnarray*} I_2(1) = w_0 + w_1 + w_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} I_2(x) = -w_0 + w_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} I_2(x^2) = w_0 + w_2 \end{eqnarray*}$

nur sind bei der aufgabe gar keine integralgrenzen angegeben? wie bekomm ich dann die rechte seite des LGS ?

viele grüße

06.01.2007, 19:48

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie habt ihr denn eine Quadraturformel definiert? Die Definition, die ich kenne, lässt Stützpunkte nur in $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ zu, $\begin{eqnarray*} I_2 \end{eqnarray*}$ wäre demnach keine Quadraturformel.

06.01.2007, 20:55

kingskid

Auf diesen Beitrag antworten »

wir haben das nur ganz allgemein definiert:

Eine Formel der Form $\begin{eqnarray*} I_n(f):=\sum_{k=1}^n~ w_k^{(n)} f(x_k^{(n)}) \end{eqnarray*}$ zur Näherungsweisen Berechnung von I(f) heißt Quadraturformel.
wobei I(f) als $\begin{eqnarray*} I(f) := \int_{a}^{b}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$ definiert wurde... nur a und b hilft mir hier ja auch nicht weiter... traurig

komisch, ist ne alte klausuraufgabe, aber vielleicht ham die das in früheren VL anders definiert...

06.01.2007, 21:08

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt es wirklich keine Einschränkung der $\begin{eqnarray*} x_k^{(n)} \end{eqnarray*}$ ? Das wäre ungünstig, denn dann müsste man für $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ja noch mehr voraussetzen als Stetigkeit auf $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ .

So wie ich das kenne, kann man, wenn $\begin{eqnarray*} a\leq x_k^{(n)}\leq b \end{eqnarray*}$ eine Substitution so durchführen, dass man statt dem Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ nur noch das Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ betrachtet, womit man dann wiederum zu schönen Sätzen kommt, wie "Eine Quadraturformel $\begin{eqnarray*} (b_j,c_j)_{j=1}^s \end{eqnarray*}$ (Gewichte $\begin{eqnarray*} c_j \end{eqnarray*}$ , Stützstellen $\begin{eqnarray*} b_j \end{eqnarray*}$ ) hat genau dann Ordnung p, wenn für alle $\begin{eqnarray*} q=1,...,p \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \textstyle\sum_{j=1}^s b_jc_j^{q-1}=\frac{1}{q} \end{eqnarray*}$ ."

06.01.2007, 21:54

kingskid

Auf diesen Beitrag antworten »

danke für deine tipps...

bei uns gibts da keine einschränkungen:
"Dabei sind $\begin{eqnarray*} x_0^{(n)} ... x_m^{(n)} \end{eqnarray*}$ die Knoten, an denen die Funktionswerte bekannt sind ." mehr steht nihct dabei.

hm, also so eine transformation haben wir nur bei den tschebeyscheff-polys gemacht, wenn man ein anderes intervall als [-1,1] haben wollte...
bei der aufgabe bringt mich das aber auch nicht weiter...

06.01.2007, 22:01

Auf diesen Beitrag antworten »

@sqrt(2)

Die Tübinger Videoreihe ist genial oder? Augenzwinkern

Hab mir die Numerikvorlesungen auch angeschaut

@Kingskid

Ihr habt den Begriff der Quadraturformel wohl etwas schlapmig eingeführt. Ich bin auch der Meinung, dass die Knoten aus [0,1] sein müssen

06.01.2007, 22:09

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ich würde sagen, die Aufgabe ist so gemeint, dass

$\begin{eqnarray*} I_2(1) &=& \int_{-1}^1 \dx \\ I_2(x) &=& \int_{-1}^1 x~\dx \\ I_2(x^2) &=& \int_{-1}^1 x^2~\dx \end{eqnarray*}$

gelten soll.

edit:

Zitat:

Original von n!
Die Tübinger Videoreihe ist genial oder? Augenzwinkern

Jap.

07.01.2007, 11:18

kingskid

Auf diesen Beitrag antworten »

okay, damit hab ichs durchgerechnet bekommen. thx4help !
d.h. man kann dieses intervall nehmen, weil die stützstellen eben in [-1,1] liegen?

und die oben angegebene funktion f(x) brauch ich für diesen aufgabenteil nicht, oder mach ich etwas falsch wenn ich sie nicht verwende?

07.01.2007, 11:47

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von kingskid
d.h. man kann dieses intervall nehmen, weil die stützstellen eben in [-1,1] liegen?

Naja, eigentlich könnte es jedes Intervall sein, dass [-1,1] enthält, aber so ist es am naheliegendsten.

Zitat:

Original von kingskid
und die oben angegebene funktion f(x) brauch ich für diesen aufgabenteil nicht, oder mach ich etwas falsch wenn ich sie nicht verwende?

Eine Qudarturformel besteht ja nur aus Stützstellen und Gewichten, ich sehe nicht, wie man da die Funktion aus der Aufgabenstellung unterbringen soll.

07.01.2007, 20:13

kingskid

Auf diesen Beitrag antworten »

okay, alles klar, dankeschön für deine hilfe Freude

Neue Frage »

Antworten »

Quadraturformel

Verwandte Themen