Surjektive Abbildungen und Äquivalenzrelationen

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hase23 Auf diesen Beitrag antworten »
Surjektive Abbildungen und Äquivalenzrelationen
Meine Frage:
Hallo.. ich muss folgende Aufgabe lösen und verstehe nicht so ganz wonach gefragt ist..

Es sei n Element aus den natürl. Zahlen.
Berechne die Anzahl der dreiklassigen Äquivalenzrelationen auf M:={1,2,3,4,5,6,7}.

(Hinweis : wie viele surjektive Abbildungen gehören zu derselben Äquivalenzrelation? )

Meine Ideen:
Für die Äquivalenzrelation muss ja symm., reflexivität und transitivität gelten.. Diese Relationen wären ja zb äquivalenzrelationen {(2, 1),(2, 2),(2, 3),(3, 2),(3, 3),(1, 1),(1, 2)} da alle bedingungen erfüllt sind .. aber wie sieht es bei dreiklassigen aus ist damit bspweise (1,2,3) gemeint und wie berechnet man die anzahl gibts da einen trick??
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
{(2, 1),(2, 2),(2, 3),(3, 2),(3, 3),(1, 1),(1, 2)} da alle bedingungen erfüllt sind .


Leicht gesagt wenn mans nicht nachprüft. Offensichtlich sind

und



Aber



Damit ist die Relation nicht transitiv. Was die Aufgabe angeht , Du musst die Relationen gar nicht explizit angeben. Etwa sind die Mengen

{1,2} , {3,4} , { 5,6,7}

3 Äquivalenzklassen und beschreiben die zugehörige Äquivalenzrelation eindeutig, den daraus lässt sich folgende Relation Konstruieren :



Oder anders gesprochen, wieviele Möglichkeiten hast Du, die Menge M in drei nicht leere Mengen aufzuteilen?
hase23 Auf diesen Beitrag antworten »

Das hab ich jetzt verstanden smile aber was ist mit dreiklassig gemeint? Sind
{1,2} , {3,4} , { 5,6,7} dreiklassige Äquivalenzrelationen?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, ich habe 3-klassige Äquivalenzrelation so interpretiert, dass es um diejenigen Äquivalenzrelationen geht, die die Menge M in 3 Äquivalenzklassen aufteilen. Daher muss man nur schauen wie man die Menge M in 3 nichtleere Mengen aufteilen kann.
math747 Auf diesen Beitrag antworten »

mit dreiklassig ist gemeint, dass die Äquivalenzrelation, die ja ein Menge aus Teilmengen von M ist genau drei Mengen als Elemente hat. Wobei die Teilmengen der Äquivalenzrelation alle disjunkt sind.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
die ja ein Menge aus Teilmengen von M


Was falsch ist. Eine Relation auf einer Menge M ist eine Teilmenge des kartesischen Produktes von M mit sich selbst. Also



Eine Äquivalenzrelation ist eine spezielle Relation.

Daher erscheint mir deine Aussage etwas verwirrend verwirrt
 
 
hase23 Auf diesen Beitrag antworten »

Also könnt ich die aufgabe wie folgt lösen, wenn ich das jetzt richtig verstanden hab.

Dreiklassig heißt, dass die ÄR , die eine Menge aus Teilmengen von M ist, genau drei Mengen als Elemente hat und zusätzlich müssen die Teilmengen nicht leer und disjunkt zueinander sein.
Also wenn ich das jetzt richtig verstanden hab müssten es 7 (aufgrund von 7 Elementen) *3 (dreiklassig) * 10 =210 Möglichkeiten sein, oder?
oder ist das ganz falsch?
hase23 Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
dass die ÄR , die eine Menge aus Teilmengen von M ist


Du hast meinen letzten Beitrag wohl nicht gelesen ?

Eine Äquivalenzrelation ist eine Teilmenge des kartesischen Produktes , also eben keine Menge von Teilmengen von M.

Mit Hilfe einer Äquivalenzrelation kann man die Menge M in Teilmengen aufteilen, nämlich die Menge der Äquivalenzklassen. Ich habe jetzt eine 3-klassige ÄQ als Relation interpretiert, die die Menge M in 3 Äquivalenzklassen aufteilt. Aber ob das auch das ist, was ihr unter 3 Klassig versteht kann ich nicht sagen.

Zitat:
Also wenn ich das jetzt richtig verstanden hab müssten es 7 (aufgrund von 7 Elementen) *3 (dreiklassig) * 10 =210 Möglichkeiten sein, oder? oder ist das ganz falsch?


Wie kommst Du darauf?
hase23 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt hab ichs verstanden was mit dreiklassig gemeint ist, , aber ehrlich gesagt versteh ich immer noch nicht, wie man darauf kommt, wie viele Möglichkeiten es gibt, die Menge M in 3 nichtleere Mengen aufzuteilen.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Überleg Dir mal wieviele Möglichkeiten es bei den Mengen

{1,2,3}

{1,2,3,4}

{1,2,3,4,5}

gibt, diese in 3 nichtleere Teilmengen aufzuteilen.
hase23 Auf diesen Beitrag antworten »

bei der Menge {1,2,3} gibt es nur eine mögl. {(1),(2),(3)}
bei {1,2,3,4} wären es folgende mögl: (1,2) (3) (4)
(1,3) (2) (4)
(1,4) (2) (3)
(2,3) (1) (4)
(2,4) (1) (3)
(3,4) (1) (2) oder?
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