Umformung für eine Vollständige Induktion

07.11.2011, 17:14

Verzweifelter1

Umformung für eine Vollständige Induktion

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich hoffe hier kann man mir helfen.
Ich habe eine Frage bzgl. der Vollständigen Induktion wie man sie vom kleinen Gauss kennt, also über das Summenzeichen.

Die Aufgabenstellung sieht wie folgt aus:
\sum\limits_{k=1}^n \frac{k}{2^{k}}=2-\frac{n+2}{2^{n}}

Hier bereitet mir das Umformen des rechten Terms gewisse Probleme.
Mir ist schon bewusst was im letzten Schritt zu tun ist.
1) Im Term rechts vom Gleichheitszeichen wird "n" druch "n+1" ersetzt.
2) Der Term rechts vom Gleichheitszeichen wird mit dem modifizierten Term aus Punkt 1 gleichgesetzt, und anschließend mit dem Term aus der Summe (in welchem "k" durch "n+1" ersetzt wird) addiert.

Womit ich dann folgendes erhalte:
2-\frac{n+3}{2^{n+1}}=2-\frac{n+2}{2^{n}}+\frac{n+1}{2^{n+1}}

Mir ist auch bewusst wie zwei Brüche zu addieren sind. Womit ich dan folgendes erhalte:
2-\frac{n+3}{2^{n+1}}=2-\frac{2^{n+1} \cdot n + 2^{n+1} \cdot 2 + 2^{n} \cdot n + 2^{n} \cdot 1}{2^{n}\cdot 2^{n+1}}

Nun wird zusammengefasst, vereinfacht, umgeformt.
Der Nenner:
2^{n}\cdot 2^{n+1} = 2^{2 \cdot n + 1}

Das ging auch soweit alles recht problemlos, bis ich zum Zähler komme.
Ich könnte jetzt natürlich noch von beiden Seiten die 2 Subtrahieren und bei bedarf noch alles mit "-1" multiplizieren, nur glaube ich nicht das es mir weiter helfen wird.

Meine Ideen:
2-\frac{n+3}{2^{n+1}}=2-\frac{2^{n+1} \cdot n + 2^{n+1} \cdot 2 + 2^{n} \cdot n + 2^{n} \cdot 1}{2^{2 \cdot n + 1}}

07.11.2011, 17:21

Verzweifelter11

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Nachbesserung zu meinem Eingangspost

Hallo zusammen,

ich hoffe hier kann man mir helfen.
Ich habe eine Frage bzgl. der Vollständigen Induktion wie man sie vom kleinen Gauss kennt, also über das Summenzeichen.

Die Aufgabenstellung sieht wie folgt aus:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{k}{2^{k}}=2-\frac{n+2}{2^{n}} \end{eqnarray*}$

Hier bereitet mir das Umformen des rechten Terms gewisse Probleme.
Mir ist schon bewusst was im letzten Schritt zu tun ist.
1) Im Term rechts vom Gleichheitszeichen wird "n" druch "n+1" ersetzt.
2) Der Term rechts vom Gleichheitszeichen wird mit dem modifizierten Term aus Punkt 1 gleichgesetzt, und anschließend mit dem Term aus der Summe (in welchem "k" durch "n+1" ersetzt wird) addiert.

Womit ich dann folgendes erhalte:
$\begin{eqnarray*} 2-\frac{n+3}{2^{n+1}}=2-\frac{n+2}{2^{n}}+\frac{n+1}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Mir ist auch bewusst wie zwei Brüche zu addieren sind. Womit ich dan folgendes erhalte:
$\begin{eqnarray*} 2-\frac{n+3}{2^{n+1}}=2-\frac{2^{n+1} \cdot n + 2^{n+1} \cdot 2 + 2^{n} \cdot n + 2^{n} \cdot 1}{2^{n}\cdot 2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Nun wird zusammengefasst, vereinfacht, umgeformt.
Der Nenner:
$\begin{eqnarray*} 2^{n}\cdot 2^{n+1} = 2^{2 \cdot n + 1} \end{eqnarray*}$

Das ging auch soweit alles recht problemlos, bis ich zum Zähler komme.
Ich könnte jetzt natürlich noch von beiden Seiten die 2 Subtrahieren und bei bedarf noch alles mit "-1" multiplizieren, nur glaube ich nicht das es mir weiter helfen wird.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} 2-\frac{n+3}{2^{n+1}}=2-\frac{2^{n+1} \cdot n + 2^{n+1} \cdot 2 + 2^{n} \cdot n + 2^{n} \cdot 1}{2^{2 \cdot n + 1}} \end{eqnarray*}$

08.11.2011, 09:18

klarsoweit

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Zitat:

Original von Verzweifelter11
Mir ist schon bewusst was im letzten Schritt zu tun ist.
1) Im Term rechts vom Gleichheitszeichen wird "n" druch "n+1" ersetzt.
2) Der Term rechts vom Gleichheitszeichen wird mit dem modifizierten Term aus Punkt 1 gleichgesetzt, und anschließend mit dem Term aus der Summe (in welchem "k" durch "n+1" ersetzt wird) addiert.

Also ehrlich gesagt, habe ich nicht verstanden, was du da machen willst.

Beim Induktionsschritt gehe ich immer so vor, daß ich erstmal in der Ausgangsbehauptung jedes n durch n+1 ersetze. Damit habe ich dann die zu zeigende Aussage:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{k}{2^{k}} = 2 - \frac{n+3}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Jetzt nehme ich die linke Seite der Gleichung und forme um:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{k}{2^{k}} = \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{k}{2^{k}} + \frac{n+1}{2^{n+1}} = 2 - \frac{n+2}{2^n} + \frac{n+1}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Jetzt brauchst du nur noch den mittleren Bruch mit 2 erweitern und das ganze zusammenfassen, so daß am Ende $\begin{eqnarray*} 2 - \frac{n+3}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$ rauskommt.

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