Teilen durch 0?? 0·cos(1/0)=0 ??

06.01.2007, 16:49

tut das not

Teilen durch 0?? 0·cos(1/0)=0 ??

Hallo,
Ich bin ein wenig verwirrt, es geht um folgendes:

Mein Prof. hat "mit uns" in der Übungsstunde untersucht, ob folgende Funktion für x=0 differenzierbar ist:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x\cdot \cos(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$ für x $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0 und f(x)=0 für x=0

Der Differenzenquotient lautet ja daher:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)\cdot \cos(\frac{1}{x+h})-x\cdot \cos(\frac{1}{x})}{h} \end{eqnarray*}$

da x=0 hat mein Prof einfach geschrieben:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{(h)\cdot \cos(\frac{1}{h})-0}{h} \end{eqnarray*}$

Daher meine Frage: ist

$\begin{eqnarray*} 0\cdot\cos(\frac{1}{0})=0 \end{eqnarray*}$ oder ein ungültiger Ausdruck?

Als Hausaufgabe haben wir eine recht ähnliche Aufgabe, wo sich dieselbe Frage stellt.
Derive zeigt mir an, dass es den Grenzwert des Differenzenquotienen dieser Übungsaufgabe gäbe.

Ich bin verwirrt, bitte klärt mich auf Hammer

Danke

tdn

06.01.2007, 17:06

Shurakai

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Das ist nur der Grenzwert; du näherst das einfach unendlich klein an 0 an, ohne 0 wirklich zu erreichen.

06.01.2007, 17:11

Calvin

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RE: Teilen durch 0?? 0·cos(1/0)=0 ??

Zitat:

Original von tut das not
Daher meine Frage: ist

$\begin{eqnarray*} 0\cdot\cos(\frac{1}{0})=0 \end{eqnarray*}$ oder ein ungültiger Ausdruck?

Da der Kosinus immer zwischen -1 und 1 schwingt, ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\left(x\cdot \cos{\frac{1}{x}}\right)=0 \end{eqnarray*}$

Es wäre etwas anderes, wenn der Kosinus unendlich groß werden würde.

06.01.2007, 17:22

tut das not

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Moment mal....

ich lasse nicht x gegen null gehen, sondern h! und benutze dafür

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{eqnarray*}$

und es geht hier nur um den letzteren Teil f(x) und x=0! Da wird nichts angenähert in dem Teil der Formel! Und der Prof hat für den Ausdruck von f(x) einfach dann 0 hingeschrieben!

06.01.2007, 17:26

Calvin

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RE: Teilen durch 0?? 0·cos(1/0)=0 ??
Du meinst also das hier?

Zitat:

Original von tut das not
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{(h)\cdot \cos(\frac{1}{h})-0}{h} \end{eqnarray*}$

Da kannst du das h kürzen.

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{(h)\cdot \cos\left(\frac{1}{h}\right)-0}{h} =\lim_{h\to 0}\cos\left(\frac{1}{h}\right) \end{eqnarray*}$

06.01.2007, 17:53

tut das not

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@Calvin: Wir nähern uns dem Problem Schritt für Schritt:

Damit ich zu dem von dir zitierten Ausdruck komme, muss ja der letztere Teil des Differenzenquotienten Null ergeben ( hier duch -0 angedeutet)

Ich befürchte mir dämmert's gerade:

Wird dort nach Funktionsvorschrift verfahren? f(0)=0

ich glaub ihr könnt auf mich einschlagen Augenzwinkern

immer diese Abschnittsweise definierten Funktionen *g*

06.01.2007, 17:54

Calvin

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Zitat:

Original von tut das not
Wird dort nach Funktionsvorschrift verfahren? f(0)=0

Aber auf dich einschlagen werde ich trotzdem nicht Augenzwinkern

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Teilen durch 0?? 0·cos(1/0)=0 ??

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