Spitze einer Pyramide berechnen (in R3) |
| 07.11.2011, 19:24 | MaiKind | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Spitze einer Pyramide berechnen (in R3) Also ich habe eine Aufgabe, die lautet: Das Modell einer quadratischen Pyramide hat eine Kantenlänge von 4 cm (Grundfläche) und eine Höhe von 5 cm. Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung für diejenigen Ebenen, in denen die Seitenflächen und die Grundfläche der Pyramide liegt. Nun weiß ich zwar, wie ich die Parameterdarstellungen der Ebenen ausrechne, aber dafür brauche ich natürlich auch alle Koordinaten der Punkte A,B,C,D (Grundfläche) und S (Spitze). Die Koordinaten der Grundfläche habe ich ermittelt. Sie lauten: A(1|1|0) ; B(5|1|0) ; C( 5|5|0) ; D(1|5|0) für S würde dann gelten: S(x1|x2|5) Aber wie komme ich nun an die fehlenden Koordinaten von S? Meine Ideen: Ich habe leider keine Idee... Ich habe daran gedacht eine Parameterdarstellung der Grundfläche zu bestimmen und S dazu gleichzusetzten aber irgendwie macht das auch keinen Sinn... Ich würde mich über Hilfe freuen! 
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| 07.11.2011, 19:32 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
In welcher Ebene liegt die Basisfläche der Pyramide? Kannst du den Mittelpunkt des Quadrates berechnen? Wie die Höhe verläuft, kannst du wegen der besonderen Angabe leicht erkennen und daher auch sehr einfach S ermitteln. mY+ |
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| 07.11.2011, 19:39 | MaiKind | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich kann den Verbindungsvektor zwischen zwei sich gegenüberliegenden Punkten der Grundfläche berechnen... und seine Länge, und somit auch die Hälfte der Länge, wo S ja drüber liegen muss. Aber wie komme ich kann auf die Koordinaten? 
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| 07.11.2011, 19:57 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Es geht ohne Länge, also wesentlich einfacher, mit der Beziehung über den Halbierungspunkt einer Strecke. Dazu addierst du jeweils die Koordinaten der Endpunkte der Strecke und halbierst diese Summe dann. Beispiel: A(1; 2; 3), B(7; 4; 9) --> H(4; 3; 6) mY+ |
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| 07.11.2011, 20:09 | MaiKind | Auf diesen Beitrag antworten » |
Und der H(4 , 3 , 6) ist dann das Koordinatentripel für die Hälfte der Strecke A und B. Also kann ich theoretisch bei der aufgabe die Punkte A (1 ,1, 0) und C ( 5, 5, 0) nehmen, die Koordinaten addieren: (6, 6, 0), diese dann halbieren: (3, 3, 0) und das wäre dann der Punkt, unter dem S drunter liegt? Dann muss ich zu H (3, 3, 0) für x3 nur noch die Höhe (also 5) einfügen, und habe schließlich die Koordinaten von S? So einfach ist das also? |
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| 07.11.2011, 20:18 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
SO einfach ist das, ja 
Du kannst noch zum Test auch den Mittelpunkt von BD berechnen, da kommt natürlich ebenfalls (3; 3; 0) heraus, muss es ja. Diese Mittelpunktsformel ist wichtig und auch sehr nützlich. Woher sie kommt, möchte ich dir hier auch kurz erklären: Seien a, b die Ortsvektoren zu den Punkten A,B einer Strecke. Dann ist der Vektor AB: b - a. Wir addieren nun zu a den halben Vektor AB: a + (b-a)/2 = a + b/2 - a/2 = a/2 + b/2 = (a + b)/2 Voilá! mY+ |
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| 07.11.2011, 20:23 | MaiKind | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nur schade, dass uns sowas im Unterricht nicht beigebracht wird
Es ist ja eigentlich ganz einfach!Danke für die Hilfe 
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| 07.11.2011, 20:26 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Falls dir die Mittelpunktsformel einmal entfallen sein sollte, geht es ja auch so (wie bei der Herleitung): Vektor AC = C - A = (4; 4; 0), dessen Hälfte (2; 2; 0) addierst du nun zu A(1; 1; 0), das ergibt wieder M(3; 3; 0) mY+ |
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| 07.11.2011, 20:30 | MaiKind | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke für den Tipp
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