100. Nachkommastelle berechnen von (2+sqrt(5))^2011

07.11.2011, 20:00

chrissly

100. Nachkommastelle berechnen von (2+sqrt(5))^2011

Meine Frage:
Bestimme die 100. Nachkommastelle ( im Dezimalsystem ) von ( 2+ ?5 )^2011

Meine Ideen:
(2+2,23606)^2011 = 4,23606^2011

07.11.2011, 20:08

HAL 9000

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Hinweis: $\begin{eqnarray*} (2+\sqrt{5})^{2011}+(2-\sqrt{5})^{2011} \end{eqnarray*}$ ist eine ganze Zahl (sieht man z.B. mit Hilfe des Binomischen Satzes).

13.11.2011, 18:24

Samsun

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Hallo, stehe vor derselben Aufgabe. ;-)
Was ist jetzt nun die 100. Nachkommastelle und wie kann ich mir diese berechnen?

16.03.2015, 12:25

A319Muck

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Ich habe wohl das gleiche Skript und den Hinweis von HAL9000 nicht verstanden.
Zu der Aufgabe müssen doch auch noch andere einen Hinweis haben. Die Frage ist aus den ersten paar Wochen des ersten Semesters!

16.03.2015, 12:44

Elvis

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Hal 9000 meint natürlich die 3. binomische Formel (oder nicht?). Die 100. Nachkommastelle liegt zwischen 0 und 9. Big Laugh

16.03.2015, 12:44

IfindU

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HALs Hinweis sagt ganz klar, dass es ausreicht sich $\begin{eqnarray*} ( 2 - \sqrt 5)^{2011} \end{eqnarray*}$ anzuschauen. Spätestens nachdem man sich eine Approximation von Wurzel 5 auf 1 Nachkommstelle angeschaut hat, sollte man doch auf eine Idee kommen, warum dieser Ausdruck, wenigstens auf viele Nachkommastellen leicht zu berechnen ist.

@Elvis: Ich sehe spontan nicht wie man die 3. binomische Formel überhaupt benutzen kann, mit dem binomischen Lehrsatz ist es einfach die Ausnutzung von $\begin{eqnarray*} (-1)^{2n+1} = -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [\sqrt{5}]^{2n} \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

16.03.2015, 13:22

Elvis

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Entschuldigung. Ich lag voll daneben und habe (noch) keine Ahnung, wie ich zu einer Lösung kommen kann.

16.03.2015, 15:47

HAL 9000

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Es ist $\begin{eqnarray*} 2-\sqrt{5} = -(\sqrt{5}-2) = -\frac{1}{\sqrt{5}+2} \end{eqnarray*}$ . Mit meiner obigen Aussage, dass

$\begin{eqnarray*} z := (2+\sqrt{5})^{2011} + (2-\sqrt{5})^{2011} \end{eqnarray*}$

ganzzahlig ist, folgt für $\begin{eqnarray*} t = (2+\sqrt{5})^{2011} \end{eqnarray*}$ demnach $\begin{eqnarray*} t = z + \frac{1}{t} \end{eqnarray*}$ .

Einfache Abschätzungen selbst ohne TR ergeben $\begin{eqnarray*} t > \left( 4^5 \right)^{402} > 10^{1206} \end{eqnarray*}$ , damit sind mindestens die ersten 1206 Nachkommastellen von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ sämtlich Nullen.

EDIT: Seltsamerweise "klemmt" momentan MathJax, zumindest bei mir. verwirrt

16.03.2015, 15:56

IfindU

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Ich habe mir $\begin{eqnarray*} \sqrt 5 - 2 < 0.3 = \frac 3 {10} \end{eqnarray*}$ gegönnt, und dann
$\begin{eqnarray*} (\sqrt 5 -2)^{2010} = \frac { 9^{1005} } { 10^{2010} } < 10^{-1005} \end{eqnarray*}$ .

Man hat ja genug Spielraum für "nur" 100 Nullstellen Big Laugh

16.03.2015, 16:06

HAL 9000

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Allerdings. Augenzwinkern

16.03.2015, 19:52

Elvis

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Stimmt, wie man (mit PARI) sieht.

17.03.2015, 15:55

Dopap

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wie rechnet die Software das , wenn die Basis nicht rational ist verwirrt

17.03.2015, 16:14

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Dopap
wie rechnet die Software das , wenn die Basis nicht rational ist verwirrt

Da müsstest du mal in den Sourcecode von PARI gucken.

17.03.2015, 18:01

Elvis

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PARI ist ein Computeralgebrasystem (CAS) und wurde von sehr guten französischen Mathematikern im wesentlichen für zahlentheoretische Berechnungen entwickelt. PARI enthält richtig gute und schnelle Algorithmen, die mit vorgebbarer Genauigkeit arbeiten. Kostet nix, ist gut dokumentiert und macht immer wieder Freude. Hier ist es zu haben: http://pari.math.u-bordeaux.fr/

17.03.2015, 20:00

IfindU

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Ich habe mal Mathematica rechnen lassen und offenbar sind die ersten 1260 Stellen Null, danach kommt eine 1.

D.h. HAL Abschätzungen haben nur etwa 50 Stellen verloren. Eindrucksvoll Freude

17.03.2015, 20:25

RavenOnJ

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Es ist $\begin{align*} 2011\cdot \log\left(\sqrt 5 -2\right)/\log(10)\approx -1260.82 \end{align*}$ .

Da $\begin{align*} z:=(2+\sqrt 5)^{2011}+(2-\sqrt 5)^{2011}=(2+\sqrt 5)^{2011}-\left(\sqrt 5 -2\right)^{2011}\in\mathbb N \end{align*}$ und $\begin{align*} 0 < \left(\sqrt 5 -2\right)^{2011}< 10^{-1260} \end{align*}$ , muss der Nachkommaanteil $\begin{align*} (2+\sqrt 5)^{2011}-\lfloor (2+\sqrt 5 )^{2011}\rfloor = \left(\sqrt 5 -2\right)^{2011}< 10^{-1260} \end{align*}$ sein, also 1260 Nullen.

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