Vollständige Induktion

07.11.2011, 20:16	Mö	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion Meine Frage: Hey leute, hier mal zwei kleine Aufgaben zur vollständigen Induktion a) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n (2k-1)=n^2 \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k}\leq n \end{eqnarray}$ Meine Ideen: ok bei Aufgabe a) bin ich wie folgt vor gegangen: IA n=1 => 2-1=1^2 => 1=1 w.A. IV sagt aus das für ein bestimmten wert die oben gegebene Formel gilt. IS n+1 $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n+1} (2k-1)=(n+1)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n (2k-1)+(2n+1)=(n+1)^2 \end{eqnarray}$ (hier ziehe ich mir jetzt ein n aus der n+1ten stelle raus) darauf hin sehe ich das ich die IV einsetzten kann und erhalte $\begin{eqnarray} n^2+2n+1=(n+1)^2 \end{eqnarray}$ jetzt löse ich die rechte Seite nach der 1.binomischen Formel auf und ich bin meiner Meinung nach fertig. zu b) IA n=1 => 1 <=1 w. A. IV... IS n+1 $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k} \leq n+1 \end{eqnarray}$ jetzt zieh ich wieder eine summe an der n+1ten Stelle raus und erhalte $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k}+\frac{1}{n+1} \leq n+1 \end{eqnarray}$ IV erfüllt also folgt $\begin{eqnarray} n +\frac{1}{n+1} \leq n+1 \end{eqnarray}$ die linke Seite addiere ich zusammen und erhalte $\begin{eqnarray} \frac{n^{2}+n+1 }{n+1} \leq n+1 \end{eqnarray*}$ bin ich an dieser Stelle fertig oder fehlt mir noch ein letzter Schritt,(falls ich nich vorher schon was falsch gemacht habe ) Joa ich hoffe ihr lasst euch nicht vom vielen Text abschrecken und könnt mir sagen ob das soweit in Ordnung ist oder ob ich irgendwo einen Fehler gemacht habe... Gruß Mö
08.11.2011, 00:57	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum so kompliziert? $\begin{eqnarray} \frac 1{n+1} \end{eqnarray}$ lässt sich doch prima nach oben abschätzen, um auf die gewünschte Aussage zu kommen. Der Rest sieht in Ordnung aus.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »