DGL lösen mit Potenzreihenansatz

07.11.2011, 20:36	FAUPhy	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL lösen mit Potenzreihenansatz Meine Frage: Guten Abend, ich hätte eine Frage zu folgender DGL, die mit dem Potenzreihenansatz gelöst werden soll: y''(x) = 2xy'(x) - 16y(t) und den Anfangsbedingungen y(0)=1 und y'(0)=0 Ich komm soweit, dass ich am Ende folgende Zeile darstehen habe: $\begin{eqnarray} 2\cdot (8a_{0} + a_{2}) + \sum\limits_{k=1}^\infty [(k+2)(k+1)a_{k+2}-2ka_{k}]x^{k} = 0 \end{eqnarray}$ Darauf kommt man eben über den Ansatz von $\begin{eqnarray} y(x)=\sum\limits_{k=}^\infty (a_{k}\cdot x^{k} ) \end{eqnarray}$ ableiten, in die DGL einsetzen usw. Das ist klar. Meine Ideen: Doch ich hänge immer beim Aufstellen der Rekursionsformel: Aus den Anfangsbedingungen weis ich zwar, dass $\begin{eqnarray} a_{0} = 1 , a_{1} = 0 \end{eqnarray}$ , und dass man überlicherweise jetzt ansetzt, dass der Ausdruck vor dem Summenzeichen und der im Summenzeichen in Klammern zusammen 0 ergeben. Aber warum ist das zwangsweise so. Kann die Summe als gesamtes nicht "zufällig" den Wert $\begin{eqnarray} -2(8a_{0}+a_{2}) \end{eqnarray}$ annehmen? Und wenn ich das so mache, dann löse ich nach $\begin{eqnarray} a_{k+2} \end{eqnarray}$ auf, aber ich brauche doch dann den Wert für $\begin{eqnarray} a_{2} \end{eqnarray}$ , den ich aber nicht habe... Schon mal vielen Dank Gruß
08.11.2011, 11:53	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: DGL lösen mit Potenzreihenansatz Dein Ergebnis ist nicht ganz richtig. In der Summe fehlen die von -16y(x) herrührenden Terme. Da die Summe bei k =1 beginnt, ist sie 0 für x = 0. Daraus folgt: $\begin{eqnarray} 8a_0+a_2=0 \end{eqnarray}$ Daraus bekommst du $\begin{eqnarray} a_2 \end{eqnarray}$ . Die $\begin{eqnarray} a_k \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k > 2 \end{eqnarray}$ bekommst du dann aus der Rekursionsgleichung, die sich aus der korrigierten Summe ergibt. Hinweis: Als Lösung wird sich eine endliche Potenzreihe, also ein Polynom, ergeben.
08.11.2011, 16:41	FAUPhy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: DGL lösen mit Potenzreihenansatz Erst einmal Danke für die Antwort. Ja, richtig muss es heißen: $\begin{eqnarray} 2(8a_{0}+a_{2})+\sum\limits_{k=1}^\infty [(k+2)(k+1)a_{k+2} - 2ka_{k} + 16a_{k} ]x^k = 0 \end{eqnarray}$ dann gilt eben noch $\begin{eqnarray} a_{2}=-8 \end{eqnarray}$ Frage: Kann man die Begründung von dir auch anwenden, wenn die Summe erst bei 2 startet. Eigentlich doch nicht, oder? Weil es könnte ja sein, dass sich die beiden ersten Glieder gegenseitg mit z.B. +8 und -8 aufheben. Ok, dann aber weiter: $\begin{eqnarray} [(k+2)(k+1)a_{k+2} - 2ka_{k} + 16a_{k} = 0 \end{eqnarray}$ umstellen liefert $\begin{eqnarray} a_{k+2}=\frac{2a_{k} (k-8) }{(k+2)(k+1)} \end{eqnarray}$ Aber ab $\begin{eqnarray} a_{3} \end{eqnarray}$ sind doch alle gleich Null. Einsetzen in y(x) $\begin{eqnarray} y(x)=1+\sum\limits_{k=0}^2 a_{k+2} x^{k+2} = 1+\sum\limits_{k=0}^2 \frac{2a_{k} (k-8) }{(k+2)(k+1)} x^{k+2} \end{eqnarray}$ Und das ist jetzt das ges. Polynom bzw. die Lösung der DGL?! Danke, Gruß
08.11.2011, 17:00	FAUPhy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: DGL lösen mit Potenzreihenansatz EDIT Ich hab nochmal nachgerechnet, also erst ab $\begin{eqnarray} a_{9} \end{eqnarray}$ sind die Glieder gleich Null. Zudem fällt ja $\begin{eqnarray} a_{2} = - a_{4} \end{eqnarray}$ weg. Es bleiben die Faktoren für k = 0,6,8 Ich glaub das müsste es sein
08.11.2011, 18:50	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: DGL lösen mit Potenzreihenansatz Die Rekursionsformel stimmt jetzt. Allerdings hebt sich $\begin{eqnarray} a_2 \end{eqnarray}$ nicht gegen $\begin{eqnarray} a_4 \end{eqnarray}$ auf, denn das eine wird ja mit $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ multipliziert, das andere mit $\begin{eqnarray} x^4 \end{eqnarray}$ . Auch sollte man die von Null verschiedenen $\begin{eqnarray} a_k \end{eqnarray}$ berechnen und dann das Ergebnispolynom explizit angeben. Bei deiner Schreibweise weiß ja ein Leser immer noch nicht, wie die $\begin{eqnarray} a_k \end{eqnarray}$ lauten. Die Begründung würde auch gelten, wenn die Summe bei k = 2 anfängt. Auch dann wäre sie 0 für x = 0.
09.11.2011, 15:07	FAUPhy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: DGL lösen mit Potenzreihenansatz Hab vielen Dank!
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »